你的数学真是缺技巧吗？从两道题管中窥豹【高中数学】

梦中的琳达:
1视频中有些讲法有点小遐思，比如a/b，分子分母同时增加，最终的变化也和ab比值有关。两数乘积和在两数之间取两个数乘积，不一定就更大，比如36，4 4.5。 2讲解方法具有明显的个人特性思维，物理思维。比如估算分析，过程动态分析，情形分类，讲直观等，当然这些也不单单是物理专属。 3关于什么是好的方法，没有作出一个客观的标准，仅从自身的思维和知识角度去看。就像美究竟是客观的还是主观的，我想大部分中学生无法从你的思维角度去分析问题，就像无法欣赏你认为美的事物。如果要给好的方法下一个客观标准的话，我认为它应该是好想到的，自然而然的，最大程度通用的。因为每个人或者每类人的思维和知识是不同的，应该根据自身的特点去解决问题，以上述作为原则。 4关于你所说的两条腿。我认为你所说的技巧是特殊问题或者概括性比较小的问题的解决模型。另一条腿是最一般化的问题或者概括性更广的问题的解决模型。就像物理希望找到一个公式使得解释所有的现象。 两条腿并非对立，而是互相转化的关系。前者更多是一种具体方法，后者是解题思想或者思维方式。 实际学习中就是要不断总结，把问题一般化，找到通用解法，它肯定有一个上限。问题越抽象越好。这样我们解决问题就可以用抽象思维，因为问题是一个问题模型中的特例。当然我们不可能总结所有的，我们总会碰到问题模型之外的，此时你要解决它就必须学一些所有问题的思考方法，用这些通用的思考方法，将问题进行分解转化，使之变成简单的熟悉的你问题模型中的问题。 最后，脱离技巧，光谈思维思想是空洞的。只考虑技巧，没有通用思想，则会陷入经验主义，解题只剩下纯粹的记忆，不会解决陌生的问题。 做个比喻，你要想成为钓鱼高手，你得要有个好的鱼竿，得有钓鱼的经验，得有钓所有或者大部分鱼的方法。

【回复】up在视频里面实际上讲的是直观化，估猜方法数感，寻求本质。这是学习好数学实际上最需要的思维方法。现行课本不重视这方面训练，例如取消十字相乘法，化简双重二次根式，几何削减内容等等。这对学生思维提高没有一点好处，恰恰助长了盲目刷题而思维懒惰的不良风气。
【回复】另外说下，直观化，估猜（为了证明一个结论去证明一个更强的结论），联想一些直观的引理，这些都是学习数论和组合这些对思维品质较高的分支所必需的东西。up不是脱离技巧盲目谈思维，而是返璞归真告诉大家最根本的是什么。
【回复】回复 @梦中的琳达 :1里面说的是 “和相等的两组数，组内两个数相差更小的那一对的乘积更大“哦， 3 6 和 4 4.5不是个反例
小龙阿卡纳:
盲目三连[小电视_太太喜欢][小电视_太太喜欢][小电视_太太喜欢]

【回复】[保卫萝卜_哇][保卫萝卜_哇]
【回复】[热词系列_排面][热词系列_可以][doge]
骑车飞跃黑天:
看视频前：就这?不会真的有人觉得数学能轻易学好吧?[辣眼睛] 看视频后：老师还能多讲讲吗，要不要考虑凑个化学[doge]

【回复】b站就有个数学up就靠自己的思维逻辑在高三的时候不复习只靠每周一次的考试来复习，当然他这些思维是他在高二做竞赛的时候慢慢摸索出来的
【回复】回复 @没口的合合 :圣阳哥[OK]
【回复】原来我最好状态的时候是因为有这种思维，我还以为是别的什么帮助我成功。
生活在数上:
up数感真的好强……我刚上高中时也想凭直觉这么做，但是很慢，而且中间有的过程总感觉差一点严谨性，后来也就习惯了老师教的那些方法[笑哭]

【回复】这两个途径并不是冲突的，我有的时候碰到不会的题目会先学会答案上的标准做法，多数人学到这里可能就好了，我会想多花点时间去把想到这种做法的图像想出来，一旦想通一种简单的图像，我会花更多的时间反复想这件事，直到我对这一思维过程很熟练。这样思维路径打通的多了，以后做题就顺了。
【回复】我和你差不多，我也是每次都靠这样的直觉，理解他讲的东西，然后去做出来，但是到后面那些千变万化的导数把我搞傻了（eg.浙江导数压轴题）
【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :对对，还要多想几遍，重复加强感受，我之前理解透彻一遍之后做题感觉失去了对这种理解的瞬间理解能力，要回炉重造一遍，打算这个暑假先不做暑假作业了，把所有学科都加强感受一遍，英语啥的差不多可以把中文全划掉不看的，免得影响对英语本身词根，发音和现实中情感的直接联系，化学平衡常数因为浓度决定反应速率并且正反应速率相等啥的，感谢咕咕～我的启蒙老师，怎么粉丝涨这么慢
忧伤的艾琳:
真正的降维打击是返璞归真。我明白了，所以真正要我们回归课本和原理并不是重新背定义而是真正理解它用符号表达的事物，从而提升思维。[星星眼]

【回复】大道至简，物理学家毕生都在追求一个大统一理论
【回复】回复 @笛卡尔a :你可以找几道例题看，看定义在题中是怎么运用的，然后你的大脑就会有感觉，你就会知道这个定义的适用范围。我认为基础不够好只是借口而已，能力是要靠摄入例子、练习还有反思培养的，如果老是用自己基础不好来骗自己，想提升就很难了。想要学好一个东西首先要对自己有信心。
【回复】回复 @笛卡尔a :我是这样的，就是写题的时候可以多考虑一下，除了平时常用的方法或者老师讲的技巧，能不能从定义想呢。有些时候就会发现，定义入手的方法会更简单
渔歌起远汀:
我的第一想法是放缩。 既然这两个对数都很小，没法直观比较，那就把对数的值放大再比较。就像我不能一眼判断3/4与5/7谁更大，但如果化成近似7500和7100我一眼就能知道谁更大一样。同理这两个对数一眼看过去差不多是在0.6~0.8之间，那么可以试着将两个对数都扩大三倍（此不等式同乘正数不变号）即化成3log5 3和3log6 4来比大小，根据基本运算法则，该不等式转化为log5 27和log6 64相比，则因为log5 25=2，而log6 36=2，以两者等于2时的情况比较，可见后者的真数比前者多了一大截，我就能大致判断log6 4是大于log5 3的。

【回复】意思就是说你先定个大致范围，范围差不多的再放大几倍使他们的范围差变大从而判断出来。这基本可以用做一个用法了而且相对自然
【回复】这是属于理解放缩的本质了，而不是只是会用放缩技巧，就是up所传递要有的思维学习，讲的非常好
好玩_有趣-快乐:
我们数学老师总是说背公式，叫我们抄写公式，我一直对于数学感觉不理解，无法形成那种意义学习。后来我看到这个网站https://betterexplained.com/上面对数学的那种直观的解释，觉得实在是太赞了，原来数学知识还可以如此生动可爱，发现自己之前学数学那种不去追求理解的，不去感受数学公式的推理的过程的根本就是太急功近利了，舍本逐末，应该好好沉下心来好好体会公式的内涵，做类比，做深入再深入的思考。 up主所强调的这种做题的思维，将题目情景化的思考，便于我们找到题目的切入点，而且做题之后一定要反思，问自己：1，这个题目的每一步是怎么想到的？2，我下次应该如何去思考，以便寻找题目的切入点，而那种技巧化的解题思路太强调灵光一现了吧，不够自然。感谢您的精彩呈现，那道向量的题目您做法真棒，本来向量这个东西就天生带有几何的特点，而用代数的各种变换去做的话，就复杂化了，也不能很好让学生体会到“向量”这个东西引入的原因吧。谢谢您的精彩讲解，期待后续更新呢！哈哈！

【回复】回复 @笛卡尔a :先隔着一两天，实在没有一点思绪就去和同学老师讨论吧，思考的过程大于结果吧（仅仅是我个人的观点，
【回复】回复 @好玩_有趣-快乐 :[tv_流泪]学数学的路上还给英语拦住了
【回复】万一思考不出来，这一步是如何得来的？那该怎么办呢？我现在就遇到了这种
水无常形__:
我认为：思维和技巧都是缺一不可的，只不过技巧是要从你的思维中自己总结出来的，即从某一含义出发来逐步推导，当你熟练到一定程度，推导的过程可以一下子完整地从脑子里出来的时候（当然，推导的过程是因题而异的），就可以省略过程得到“技巧”了，这是样才能提高效率，人需要学的东西很多，不可能每个东西都要慢慢推导，需要强调的是技巧一定是建立在思维推导上的，由自己总结出来的，才是真正受用的技巧。别人的技巧只不过是为你提示了一种新的思路，不去理解，不去从底层推导上来，别人的还是别人的。总而言之，学习任何东西都要从最基础的含义出发，建立自己的宫殿

【回复】回复 @水无常形__ :讲得很好，我很同意。我觉得我们表达上的出入只是对“技巧”的定义有差别，我这里说的技巧专门指那些肤浅的套路化的东西。在低手的眼里，高手的解题过程就是不断在用“技巧”，但是低手看不到高手“技巧”背后的逻辑，急于求成，学个表面上的肌肉记忆，只有高手清楚为什么要用这些技巧，清楚他到底是在用什么道理，清楚他自己在做什么。理解足够的人往往不想把这些低手眼里的宝贝称作技巧，因为对他们来说这个其实是很自然、很合乎逻辑的反映，是他们直觉的一部分。
星虹士:
[脱单doge]亲爱的up，我想问一下：今天上课数学老师用技巧讲向量题，有个学生说这题可以用画图（大概他用的也是思维性的）老师不服就出了个数稍微大一点的说“这题你画图试试？” 所以我就被动摇了，真的没有题是只能用技巧算的吗，那个题数值变大是不是就只适合用技巧了。[无语]

【回复】我觉得不同人说的画图应该是完全不同的意思。很多同学以为的画图，就是要真的把函数或者几何图形严格地画出来，最好能直接拿尺量出结果。这显然是不合法的做法，日常训练中不可取，实际考试中受制于题目参数的复杂度，不见得好用。我们这里说的画图，是去看看大致的趋势，“找找感觉”，启发一下自己。画出图后的推理不是“毛估估”的，而是每一句都可以严格化，背后都是有逻辑支撑的。掌握这种能力的好处是你能清楚的知道，今天想到用某个技巧的原因是什么，于是做题行云流水，从容优雅，再也不需要事先记住“什么题型用什么招数”，不需要你在考场上“灵机一动”——一切都是顺其自然的。总结一下，不是不让大家用技巧，能做出题目当然是要用到技巧的，只不过我们日常应该训练的是找到技巧的“嗅觉”，而不是记忆技巧本身。
【回复】并不，我来告诉你思维和技巧的区别和差距，大部分题当然是用技巧最快，但是只用技巧而没有思维那是纯粹的应试而不是学习，你老师说的那个题也许不能用画图，但是会有其他奇思妙想的做法，举个例子，前几年那个爆杀一堆考研生的数一压轴题，用常规方法做到死，所谓技巧全部失效，但是那题可以用拉格朗日中值定理进行图像分析接着结合分段函数妙解，真正的数学人才和刷题“学霸”在那题那被分的清清楚楚
【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :感谢up，我应该懂了，学而不思则罔，思而不学则殆
Zzzstt:
可以看出大佬的数学思维非常好，是真正学懂了数学的人，确实是学理科的料。我很佩服，想成为你一样的人😄

歪嘞嘞:
我一直把这些自己称为直觉性思考/直觉训练[doge][doge]顺带一提我语文也是这样学的，作文不跑题的情况下基本上轻松一百二往上（感觉我菜的别来喷我）[脱单doge]，很多语文课上课认真听认真记笔记的人反而没啥水平，，，[脱单doge][脱单doge][脱单doge]加油up，这两天看了很多你的视频，感觉把我冥冥中感觉到的但是表达不出来的做题方法基础表达的很清晰[脱单doge][脱单doge]

【回复】高三已经毕业好几个月了也没碰过语文了[笑哭]歇了好久只能粗略回答了。1，平时主观题和作文抛开格式只专注于提炼内容，学习其标准答案或者高分作文是如何想到的，有点剥丝抽茧的意思，到自己做答的时候先按照逻辑组织好内容然后按格式重新编排。2、 平时语文教学和训练老师经常要求背下来某类题的某个模板，再去对应模版一个点一个点的对应着去答，有时候无脑训练确实有点效果，但是瓶颈期来的也快，基本一些高分选手才能写上的点写不上只有最基础的分数，其实最简单的就是读完感受到啥或者某个细节触动到你都是能写的，毕竟“主观题”嘛，现在教的搞的“主观题”一点都不“主观”[笑哭][笑哭]不过这个评论过了这么久居然还能被人看到，看来爱学习的人还是挺多的[脱单doge]（对了本人高考语文正常发挥 125 感觉挺轻松的平时没咋学应该还有进步空间[笑哭]）
【回复】求探讨。听过类似的观点是：主观题的作答其实根本上是说服阅卷人相信你的观点，所以逻辑非常重要。包括作文也是如此，文风华丽并比不上能严格地论证你的观点，哪怕只用大白话也能拿高分。不知道楼主在平时是如何运用这种思维的呢？楼主认为语文学习/教学中不够“直觉化”的地方在哪呢？想听听见解
【回复】求问语文怎么用直觉训练学啊[星星眼]
TheOriginalDoll:
真的非常感谢老师！我一开始有这种意识，但是在学校各种无意义的任务练习中逐渐迷失了自我，结果也是没有多少提升。看了老师的视频让我坚信自己是正确的，我会优化自己的时间分配，让我自己的思维得到一个有效的提升，这才什么这正要紧的事情！再次感谢老师！！！

【回复】我也是！两种思维在打架，自己能力不够，还没办法去将两种方式有机结合，所以就渐渐地丢失了最本质的东西
misa酱世界第一可爱:
吹一波咕咕和呱呱教授，在我刚上高中时，写题目也会有思考凭什么为什么，但是我的老师跟我说，不要思考这些东西，于是每次写题的时候很挣扎，看到了教主的视频，真的感激你们带我走入了物理的世界[大哭][大哭][热词系列_神仙UP][热词系列_吹爆]

23233232:
从这个视频开始，后来看了up主10个左右视频，真的给了物理上很大的思想帮助，虽然微不足道，但我也没看完一个视频都投币[热词系列_神仙UP][热词系列_咕咕]，希望能成为up动力的一部分。[热词系列_你币有了]

恶了马:
现在的高中物理感觉跟老师只记模型，但没有咕咕说的这种思维是不会考太高分的

【回复】物理这门科目来说，模型的普适性好，对于资质不好的学生利大于弊，而对于资质好的学生就不用讲模型，强行要求按照模型来做反而会造成负面效果，但学生自己很难意识到。使用模型教学减少了老师的教学工作（把思考过程丢给了模型），所以老师都比较青睐这种方式。
【回复】回复 @恶了马 :基础思维是可以泛化的，应该更加重视啊
【回复】目前大部分老师基本都是教模型，而不是基础思维
塔塔小塔:
我是山东的，我做生物题的时候，感觉生物总结不出什么技巧。都是非常情景化的，都是要看题里面的信息，所以就有时间能做出来，有时候做不出来[藏狐]