【高中物理】数学物理通用的重要思想：对称性

里森堡驻联合国观察员:
高中阶段的对称性有个雷区，就是磁场。设想如下的情形：纸面上有一个圆形回路，里面通有电流。这个系统关于纸面对称，并且任意旋转对称，因此圆心处磁感应强度为零。[doge]

【回复】因为磁感应强度不是真正意义的矢量，是用两个矢量做叉乘（外积）得到的，称为“赝矢量”，变换方式和矢量自然不一样
【回复】这个点很好，感兴趣的同学一起想想这又是怎么回事。一方面，圆心磁场显然不为零。另一方面，视频里讲的逻辑永远是对的，问题只是出在怎么用。具体到这个问题，镜面变换下到底改变了什么？
素樱罗的paper:
高一菜b，也来掰扯两句哈 第一问，应该算是旋转对称性，或者说“球对称性”？ 第二问的话，这么说吧，我可以在纸面上画一个场源电荷q1与q2，假设q2所受的力不沿联线，朝向左边，那么我把纸面翻过来，由于球对称性，就像把球绕球心转180° ，情况应该是一样的，可是力朝向了右边，这是矛盾的，故只能沿联线

【回复】回复 @涵の第十八章 :然后，不沿联线是假设的，我要证明沿联线，所以用反证法，推出矛盾
【回复】回复 @涵の第十八章 : 一样的情况，不一样的力，这就是矛盾所在
物理好难TUT:
视频里我们看到的点电荷的等势面是二维的，所以很容易陷入一个误区：旋转只能在二维平面（xy轴）上进行；然而以三维的视角看待这个问题，以Z轴方向进行旋转，如果电场线不是沿以点电荷为圆心（或者说球心）的半径延伸，那电场线在xy轴平面上的投影会发生改变，而点电荷性质并未发生改变，所以只有电场线沿半径方向才能完成自洽。（个人拙见，还请教主指点一二[脱单doge]）

【回复】讲得很准确。就是绕着径向的旋转对称性保证了这件事。
【回复】学霸，我们做朋友吧[脱单doge]
沉默的克里格列兵:
点电荷与另外一点构成直线，空间关于它旋转对称。因为电场只有一个方向，同视频分析，电场方向只能在轴上。 或:等势面为球，电场方向沿着其变化最快方向，即半径方向。 还有伟大的诺特定理，揭示了数学变换与物理守恒的统一。

【回复】大家有没有看懂呢？这里说的旋转不是视频里画出来的那种二维平面里的旋转哦（为什么二维平面里的旋转不可以呢？），而是在三维空间中以连线作为转轴旋转。
【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :是不是因为，点电荷产生的电场是在一整个空间范围的，所以我们此时考虑对称必须是三维的对称（旋转对称）而不是二维的平面对称
【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :因为我一开始一直在二维层面想，总是想不出来[笑哭][笑哭]
IF-07:
孤立点电荷是一个一维的东西，也就是说在平面或者空间里它并没有占据任何地位，所以自然就会在平面里引出一个圆或者在空间里引出一个球面。（我概括不出来这叫什么对称性…各方向完全对称？） 对于a点，它和那个点电荷的连线可以将空间分为对称的两部分。假设a处电场偏离这条连线所在直线一个角度，那么我们想象去沿着这条直线“翻转”这整个画面，线就跑到另一边去了，而不在原来的位置上。因此，如果要满足对称性则电场方向必须与两点连线重合，指向两个方向中任意一个（未知）

【回复】后面关于对称性的分析说到点上了。二维情况里要证明电场沿径向，可以研究沿着联线翻折的操作，具体论证过程和视频前半部分讲的例子里类似。实际上，在三维空间里，研究绕着这根轴任意角度旋转的操作也可以，不一定非要旋转180°（旋转180°就成了“翻折”，只是个特例）。 顺便纠正一个小错误：第一句话不对，点电荷，既然是点，那就是零维的物体。
【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :老师，也就是说我并不一定需要在二维平面去证明，三维平面的证明更加轻松(比如这层层主所说)，但是二维有没有证明的思路呢
【回复】点电荷引出一个球，是典型的空间旋转对称性
这个劫不呼吸了:
其实，我不太能理解，为什么磁场中力的方向用手判断，这不是对称图像，有不对称的答案吗

【回复】要先分析体系的对称性，不要用“对称”一个词泛泛而谈，要落实到“你的系统究竟是怎么个对称、在什么操作下不变“。磁场是由电流产生的，电流有朝向，一般会破坏很多对称性。比如载流直导线，这个系统以导线本身为轴转动对称，于是磁场也关于导线转动对称，这就是为什么直导线引起的磁场是“螺旋”
【回复】我们用洛伦兹力F举个栗子…我们知道，如果给定一组q、v、B，那么F的大小等于qvB，而F的方向垂直于v与B所在的平面，于是满足这些条件的F有两个，因为1个平面会有2个法向量…但是F应该是唯一确定的，所以之前提到的两个F里，一个是会符合观测结果的，另一个是会不符合观测结果的…于是根据观测到的结果，前人利用手发明了一些定则，来帮助后人更方便地判断洛伦兹力的方向…
【回复】回复 @这个劫不呼吸了 :这个问题比较难了。磁场不要做镜像对称。原因是镜像会改表坐标系的手性，右手系变成左手系，这样电流产生磁场的方式会发生变化。这超过高考标准了，所以只要了解即可。考虑磁场的时候，不要做镜像对称。
红松枫:
我们先假设距离点电荷一段长度的点所处电场与半径有一个夹角，那这个点的电场就可以被分解为沿半径方向和垂直半径方向。又因点电荷产生的电场旋转任意角度后分布不变，即具有旋转对称性，所以跟这个点在同一个圆上的每个点都具有相同的电场，分解的两个电场也都大小相等，于是就有了无数条沿半径方向发散的射线型电场线和一条沿该圆圆周方向的首尾相连的闭合电场线，在静电场中显然是不存在的，故垂直半径方向电场强度为零，就只有沿半径方向的电场了。（高中牲浅薄的想法，不过话说回来，为什么静电场的电场线不能闭合呢？）

【回复】很好，这也是一种合法的论述。不过还没有充分利用空间对称性，而是结合能量守恒得到了矛盾。评论区有同学已经指出了关键的对称性，就是绕着半径方向轴对称，可以参考一下他们的说法。（静电场不能闭合，否则让一个试探电荷在静电场里转圈，就会不断加速，违背能量守恒）
肖教练的小迷妹:
上一期出现的那个声音很好听的助教小姐姐呢…

【回复】在评论区，你找找看，我忘记是哪个了
【回复】我也忘了[doge]，好像叫肖什么什么…
Xeonpoint:
我是这么思考的：如果要考察一个点电荷关于什么操作对称，最好先引入一些试探电荷来做一些试验。我想让几个点 A,B,C,D 随处分布，而点电荷固定在某个点。既然他是一个点，我让他绕着自己“转动一下”，应该是一种对称的操作吧？那么既然旋转之后，电场的分布是不变的，那么那种场强似乎只能沿着半径分布，整个发射出来的电场就像一个圆盘布满平面，在转动之后还是一样的。那么对于任意的一个点 A，如果电场方向不是径向，那在旋转后必然会改变。为了满足对称，只能径向。点、圆这个自己就是一个很对称的东西了。 我发现在化学中，这些东西可能会更直白。另外，如果有机会的话，很想了解如何定量地刻画这种性质。如果我没猜错，这应该会用到群论的工具吧？我常看到他和对称出现在一起。

【回复】回复 @Xeonpoint : 你的直觉很对，一般有这种直觉的时候，就说明还有更多的对称性没有发现。这个体系不只有转动对称性，还有镜面对称的特点。涡旋状的电场不违背转动对称，但是违背了镜面对称。
【回复】回复 @Xeonpoint :这不是我的意思。点电荷肯定是具有平面内的旋转对称性的。但是光这个不能框死点电荷的电场。比如我的电场可以是涡旋状。为了说明涡旋状不行，要么考虑三维空间里的旋转对称性，要么引入更高级的知识，比如“电场是保守场，沿一条闭合环路的积分为零。”，总之单说二维平面内的旋转对称，是不足以排除诸如涡旋这样的情况的。
【回复】回复 @物理系咕咕助教 : 谢谢！这样就很清楚了。
AnonymousSaluton:
【温馨提示】：记得开启自动字幕。 【简介】：这期讲的是很重要、很常用的内容，也是同学中常见的困惑。

【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :平板用户无能悲哀[酸了]
【回复】回复 @花儿对我giao :视频暂停后右下角有按钮。手机和电脑都能看到的。
顽强的坚果123:
我觉得可以用假设法。 1点电荷也旋转对称。 2假设电场不沿半径方向。 3发现不满足旋转对称 4假设不成立。电场只可能沿半径方向。 5检验：当电场沿半径方向时，满足旋转对称。 6得证

susan老师:
得加个电场方向在平面里的前提。不然垂直平面方向也是满足这个对称性的

【回复】有道理。考虑第三个维度的话就要用镜面对称性限制一下了。这个也应该拿来考考学生看看有没有学明白。
可爱小橘猫OvO:
我来回答为什么沿半径方向， 我们首先得承认，点电荷是一个没有大小形状等属性的一个点。所以我不论怎样放置点电荷，只要位置不变，它的电场分布，也就是说E所满足的某种关系式，应该也是不变的。也就是说我们从二维或者是三维去看这个电荷，它周围的电场线形状应该是确定的。 那么，我们来假设电场方向不沿着半径方向了，可是又该沿着什么方向呢？ 不妨从二维平面入手，我们先以点电荷为圆心O画一个圆，然后研究圆上点A处的电场强度E。 这时候，我们以点电荷为原点O建立平面直角坐标系，随便建立一个吧。 这时候，我们将A关于x轴进行对称，得到A’，此处的电场强度是E’，然后我们再将纸面上下镜面对称一下，那么，很显然的。E和E’都要上下翻转，而A和A’上下翻转后，就交换了位置，于是此处A’的E就该是E’翻转后的结果，而我们根据之前的结论，因为点电荷不论怎么看都是一样的，所以此处A’的E就该是原先的A点所具有的E，由于我们的A是圆上任意选取的，对于圆上的任意一点也是如此，因此整个在这个圆上的电场强度都是关于x轴对称的。 于是我们发现在x轴上的电场强度，只能在x轴所在的直线上。由于坐标原点O是A所在圆的圆心也是点电荷的位置，所以这个方向也是径向。 然而，这里有一个问题，我并没有说x轴或者y轴是沿着哪个具体的方向建立的，假如我以OA为x轴建立坐标系呢？上述过程可以再重复，于是发现A点的电场方向也是沿径向！而A点也是我们任意取到的圆上的点，因此这个圆上的任意的点的电场方向都是沿径向。 这个圆也是以电荷为圆心随意半径画的圆，因此对于任何以点电荷为圆心的圆上的点，它的电场方向都径向。 于是就得证了。

晴清Qq:
在回答问题前先说点废话(*≧ｍ≦*) 不知道为什么，关于对称性这个结论的得出的过程，特别让我想到化学概念中的键级 以硝酸根为例，我们知道三根氮氧键都是等价的（实验仪器可以告诉我们），如果画结构式首先画氮氧单键，并且把氧的孤电子对按八电子原则配齐 那么会发现，为了满足整体价电子总数为24，我们知道肯定要有一个氧和氮之间成双键 但是鉴于这三个氧与氮之间的关系是等价的 ，在共振式中，应该是画三个式子，最后键级是取三者的平均 我应该把我想说的意思表达出来 好，然后来回答问题 孤立点电荷具有以它为圆心，以任意大小为半径的一个球（立体）的的对称性 或者能不能说在整个空间里把它看成一个中心点的话，任意都是对称的 （当然，我这么说，可能有点含糊，但只会这么表达了[笑哭] A沿场强方向就是以孤立点电荷和a的连线方向，如果如图，这个点电荷是正的，那么这个方向就是由正电荷指向a如果是负电荷则相反 中心电荷和a点发生在电场中，但其实类比于重力场，就可以把它们看成两颗星星之间的关系，力在连线方向，这是一种直觉吧 答的不好，我去学习一下优秀答案，以后再反思反思吧

账号已注销:
师爷：砸了你们，砸了， 师爷：兔子都知道不吃窝边草，7.6w人，还当着人UP的面儿白嫖。还不点赞，呸，恶心，我都投个币。这种视频你们投个币吗？投一个，花不了多少硬币，哪怕点个关注呢？简直就是土匪，土匪都不如。还指望人UP更新视频，三连肯定捞不到了。呸，恶心，恶心，RUA，恶心呐！

【回复】回复 @物理系咕咕叫兽 :出自 让硬币飞一会[呲牙]
【回复】回复 @東雲vios :选自《让硬币飞》
繁华落慕:
因为圆的对称性非常高，点电荷是一个点，旋转多少度都是它本身，所以只有当电场是半径的时候，他那些电场才能完全重合。在学物理的时候，感觉物理书上那些公式推导，很莫名其妙，并不是很懂，为什么一定要创造那些物理量，特别是他最后竟然推出了电压，而电压，你却可以用电压表测量出来。

【回复】感兴趣可以看看格里菲斯的电动力学 你会发现一些像电势，场强这些看似“硬造”的概念都是静电场的数学决定的优美性质
etherealsup:
我觉得物理上对称性的最美的一个应用就是能量守恒 对称即守恒 大道至简

【回复】你说的对，但宇称不守恒[doge]
【回复】回复 @木易真真人 :指正一下，能动守恒是时空平移不变性，角动量是旋转不变性，时间和空间的反演是对应于T对称和P对称，这几个概念并不一样[藏狐]
【回复】回复 @NPC-非玩家角色 :？？
Asuka-Jt:
封面题： E(0)=i ∑ a^k，a=exp(2πi/5) 如果旋转b角度 E(b)=exp(ib) E(0) 令bn=2πn/5, n=1.2.3.4 由对称性: a^5=1(即群C5=<a|a^5=1>) E(bn)=E(0)=exp(ibn)E(0) exp(ibn)≠1，故 E(0)=0

【回复】回复 @Xeonpoint :回复 @Xeonpoint :修完那个，可以修一下群表示论。表示论就是说，群本身没有太多价值，但群最nb的地方是可以作用在一个物理系统里。比如我这里，就是把旋转群作用在了电荷系统里，电场强度就在群作用下做出相应改变
【回复】回复 @Xeonpoint :有本老新课标的高中数学课本，讲群论的挺好的。
【回复】回复 @Xeonpoint :本来就是啊[笑哭]晶体里面天天用，甚至还有选择定则，确定对称性的外场只能激发确定对称性的量子态[笑哭]