欧拉的魔法之剑，从弧度定义到上帝公式

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夸夸：欧拉真是天才！数学界旷世奇才！ 关键词：#三角函数 #弧度 #正弦 #欧拉公式 #上帝公式 #数学之美 #解析定义 #无穷级数 #指数函数 #虚数 总结：欧拉从定义弧度开始，经过一系列巧妙的数学运算，推导出了著名的欧拉公式，并最终得到了上帝公式。这个过程完美地展示了欧拉的数学天赋和数学之美。 一、弧度的定义和正弦函数的本质 - 00:00 - 欧拉对正弦函数的本质产生疑问，他认为正弦函数应该从长度到长度的映射。 - 00:17 - 欧拉定义弧度为弧长除以半径，从而将角度表示为长度。 - 00:33 - 正弦函数和其他三角函数变成从长度到长度的映射。 二、欧拉公式的推导 - 00:49 - 欧拉假设一条弯曲的不锈钢条弹回去会变成一条直线。 - 01:16 - 欧拉把正弦函数看作是从弧线到直线的映射。 - 01:30 - 钢条弹回去时划过一条曲线，它的长度等于 X 的平方除以 2 的阶乘。 - 02:01 - 欧拉通过计算，发现曲线长度的序列和正弦函数的解析式类似。 - 02:24 - 欧拉把正弦函数的解析式定义为无穷级数。 - 03:07 - 欧拉把余弦函数的解析式定义为正弦函数解析式的偶数项和奇数项。 - 03:46 - 欧拉发现自然指数函数的自变量加上虚数系数等于一个由余弦和正弦组成的复数。 - 04:02 - 欧拉推导出欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。 - 04:23 - 当 x 为 π 时，欧拉公式变为上帝公式：e^(iπ) + 1 = 0。 三、三角函数在分析数学中的应用 - 04:37 - 欧拉公式将三角函数引入分析数学领域。 - 04:50 - 三角函数在科技发展中发挥着越来越重要的作用。 - 05:04 - 欧拉对三角函数的基础性研究为后世的数学发展奠定了基础。 - Powered by brainstorm.cool

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