为什么椭圆没有周长公式？看看拉马努金神奇的猜想！

arum19920314:
高中学椭圆的时候我就好奇，既然学了个几何图形为啥椭圆的周长和面积都不出题的，我好奇的问了我们数学老师，我们老师说，你要是真的能把公式推导出来的话，那你就是数学家了[笑哭][笑哭][笑哭]

【回复】椭圆面积公式πab啊，只是周长难求，只有级数，积分，近似公式
【回复】圆的周长是π（2r）也就是π（r+r），那么类比椭圆周长的形式大概就是π（a+b），但是椭圆里的π是个函数，设T=T（e），e表示离心率。特解T（0）=π，所以椭圆周长就是C=T（e）（a+b），但是e=c/a=√（1-b²/a²）。设b/a=t，则C=T（√1-t²）√（1+2t+t²）a。问题就出在这个T（e）是什么？我们只知道T（0）=π，但是对于其他的情况，我们算不出来。因为T（e）不属于任何基本初等函数，所以椭圆周长只能用积分近似求出近似公式。
cresky_:
我初中的，就随便猜想一下，当时我探究标准圆方程，顺带把椭圆也看了一下，是x^2/a+y^2/b，好像是对标准圆所在的圆坐标系根据ab的值进行扭曲拉长，也就是拉扁了，然后重构，或许可以根据标准圆周长和拉扁的程度ab求周长（别骂，我啥也不懂，没看过高中课本，全蒙的）

【回复】等学了微积分你就明白了，你所谓通过压扁程度转换成园来计算，本质上只是积分变元的代换，还是最简单的线性代换 因为面积微分ds=dxdy=abd(x/a)d(y/b)，所以面积就是单位圆的ab倍 但弧微分和面积微分不一样，dl=(dx^2+dy^2)^0.5，代换后可就不是乘个ab这么简单了
【回复】通俗来说就是，面积是和长×宽成正比的，所以长宽按比例放大，面积很容易求； 但斜线段和长宽之间是勾股定理的关系，是个根式，所以并非想当然的按比例放大。
【回复】不行不行，面积是有等比例压缩的形式，而周长的压缩是每一处都不相同的，解不了
成果的前男友:
理论上只要是确定的东西应该都有公式才对

【回复】有没有公式要看公式的定义是什么，最早时不能用有限次加减乘除开方表示的都叫没公式，后来又拓展了六个三角函数，指数对数函数，甚至伽马函数、黎曼zeta函数等。
【回复】简单理解[doge]它虽然有确定的公式，但不能用已知的表示方法表示出来（不能用初等函数表示）
【回复】最有名的，五次方程没有通解公式
荴黎:
椭圆积分没有初等函数形式的原函数，换句话说就是它的公式不漂亮。

【回复】回复 @maxppa :三角函数基本初等的原因是它本质上是复指数函数，基本初等函数只是在幂函数里塞了个指数和对数进去，正反三角和双曲函数都能表达出来。但是椭圆函数不行。以及如果要扩张初等函数的话不如把超几何函数塞进去，基本初等函数和椭圆积分都是超几何函数
【回复】因为三角函数是基于圆定义出来的，所以圆周长才能表示为三角函数的积分，而椭圆并没有一个三角函数（实际上有，叫做巴塞尔函数）定义，所以没有简洁公式
【回复】回复 @YARTSA :椭圆积分可以表示成超几何函数，不代表椭圆函数能。椭圆函数的结构比超几何精巧多了。
亚洲游骑兵:
传说，有近似椭圆周长公式。哪怕计算行星轨道误差都不超过几米。。。

【回复】传说而已，一旦到了天文级的数量，再小的误差也会被放大得很夸张，以日地距离AU为例，两个焦点距离为AU的椭圆，就算按照目前误差最小的椭圆周长公式(误差在亿分之几的数量级)，其误差就相差几千米，而日地距离在整个宇宙当中实在太小了，所以计算焦点距离更大的系统时，误差数量可能就是很大的数字。只能说目前的，近似公式没办法达到误差只有几米的量级。
【回复】严格的周长公式是不允许近似的，有误差就不算真正的周长公式，得到近似公式不难，难的是准确的公式。
【回复】行星轨道也不是一直不变的[吃瓜]
野生女仆抓捕队长:
看到后面的精确公式，，，是我这高数60分的学渣冒饭了[笑哭]

【回复】你语文肯定也是60分，因为“冒犯”写错了[doge]
【回复】回复 @-_清枫_- :玛德最近在学傅里叶变换和拉普拉斯变换，根本听不懂
【回复】这个本科非理科专业大多数学的都不深[笑哭]
晴天_SunshineSky:
可是老师说椭圆和圆是并列关系，还特别强调了圆不是特殊的椭圆

【回复】有的地方说长方形和正方形合称矩形，也有的地方说长方形就是矩形（即正方形是特殊的长方形），所以圆是不是椭圆呢[doge]
【回复】教材和考试怎么说老师就怎么说，老师说的不代表真理。实际上很多概念有很多不同的定义，比如同济高数里只承认连续趋近极限存在，换本教材又承认离散趋近极限存在了
【回复】这就是个定义，椭圆的公式里a与b的比值变为一比一就是圆，你当它是个特殊的椭圆就是，不是就不是，数学研究的重点不在于这种定义
爱哔哔的老疯狂:
圆也没有初等公式，只不过是确定了一个 e＝0时的系数，系数为π 同理，e＝任意数时，也可以定义一个系数求解周长。 只不过不常用而已。 —————— 但在一些工程应用上，这个思想就会得到体现，会给出一串离心率所对应的周长系数，查表得到近似值。

【回复】回复 @藤原大蘑菇 : pai也是个超越数，这么讲也没那么初等
【回复】说起来，要计算π的准确值还真得用级数
【回复】你这不是解释了圆周长有初等式的原因吗，π本身就是初等范畴内的
盈光之心:
为啥要拘泥于圆周率派呢，椭圆就不能有个椭圆周率吗[思考]

【回复】麻烦在于每个不同的椭圆它的率都不同
【回复】园只有一种，椭圆有无数种，你怎么给无数种椭圆定π[笑哭]
ydl233:
如果没有π这个东西，圆的周长公式也会非常复杂

【回复】圆的周长公式很简单啊，就是个正比例函数，难的是π到底怎么算
【回复】关键是每个圆周长和直径的比值都相同
【回复】有什么复杂的，可以直接做出半径关于周长的方程，发现是x，y成线性关系，这个一次函数的k值就与与圆周率有关系，不然你以为圆周率是什么。
relivene:
我觉得π也是无穷级数加起来的 也不是初等函数吧，说不定以后能再定义一个有意义的椭圆的π

【回复】回复 @大正平次 :牛顿莱布尼茨他们并没有超越数的概念，超越数是刘维尔发现的，这是牛顿他们死了100多年以后的事了
【回复】椭圆两个直径是无关的你怎么确定它的圆周率[脱单doge]
【回复】是的 超越数都可以写出无穷级数的形式 牛顿莱布尼茨都推导过
Ai丶Lolita:
椭圆也该有一个对应的公式，不过对于园来说，有个π是可以用的，对于椭圆也有一个无穷级数与它对应，而且应该是和离心率有关的无穷级数对应，因而有无穷多个无穷级数与椭圆对应，我们没必要解无穷多个，所以它没有确定的周长公式。这是我的个人理解。

【回复】回复 @木头dty :椭圆可以通过线性变化变成圆，但是“椭圆周律”并不会随着线性变化。
【回复】或许建立一个变换，把圆变成椭圆，椭圆变成圆。
【回复】你猜的没错 推导很复杂 要学椭圆积分
湛兰新空:
以下是我前几天在别处的一条评论，里头有123，针对这个视频，3是我想说的，大家可以不用看1和2。 --分割线-- 我如今对于数学，我有3个想和大家探讨的脑洞，不知发在哪里合适，我就先发在这了。[doge]1.大家能够想到哪对f（x）和g（x）（均为一元函数，均不为常数），哪对A和B（均为方阵，均不为全0矩阵或对角阵），满足这四个式子？①(f(x)/g(x))'=f'(x)/g'(x)；②∫（上限x，下限0）f(t)g(t)dt=∫（上限x，下限0）f(t)dt·∫（上限x，下限0）g(t)dt；③|A+B|=|A|+|B|；④|A-B|=|A|-|B|。 2.我今天，突然想到了一个数学模型，就是长发控男生对心目中女友的头发长度与自己的喜欢度的函数模型。因变量为喜欢程度（设最不喜欢为0，最喜欢为1），自变量为和头发长度和身高都有关系的一个度量（趋于负无穷时为“光头”情况，我初步定为头发长度和身高的比值的对数值，对数底数待定，设为随机变量X），绘制函数图像，图像为正态分布的概率密度图像，X~N(μ,σ^2)，当情况为“及肩”时，对应数值为μ-2σ，当情况为“及xiong”时，对应数值为μ-σ，当情况为“及腰”时，对应数值为μ（对于μ，我认为既然每个人的身形都不同，那就取平均值）。不知我的设想合不合理（当然我觉得我提的设想很主观），如果合理，可有大神挑战一下我提出的这个问题，就是定出这个正态分布的μ和σ，以及如果我想到的X度量合理的话，对数底数a的值否？ 3.众所周知，椭圆周长没有初等计算公式。然而，我最近看到一个知乎专栏（网址我就不发了，p后面的一连串数字是261747021，自己去输吧），说可以有一个初等计算公式，然而我一眼看出了里面说的这个公式的问题，如果里头的e也就是离心率等于0了，那么在这个公式里，椭圆的周长就是0，而正常情况下，如果e=0，这个公式应该等价于圆的周长。这个专栏我没咋看懂，有谁能够解读一下吗？

沙雕vandoor:
对应曲线积分没有初等表达式[脱单doge]