欧拉的魔法之剑，从弧度定义到上帝公式

明月凊风我:
欧拉真的无愧于天才，这脑回路真的一般人研究一辈子也研究不出来的

【回复】因为大部分人完成第一步就认为结束了，傲慢阻碍了他继续探索……
【回复】回复 @淼斯基 :不是傲慢，是好奇心，这是一种随着年龄增长越来越稀有的东西
【回复】回复 @淼斯基 :不一定是傲慢哈，我就是想不明白[嫌弃]
糖糖君耶:
欧拉公式最牛推演 我决定改版一下 变成文字版教给学生 [给心心]

【回复】视频中很多地方无法细究，就好像直接给个答案。我认为这个视频可以做一个课外兴趣自己去看，没必要专门课上讲，对数学感兴趣的弄不明白(涉及许多大学知识)，不感兴趣的也不会仔细去思考，最多当个乐子。我的建议是让学生有兴趣的自己回家看
【回复】回复 @--雨落-- : 其实 就是兴趣 有些推理过程是高中生看不懂的，也没必要现在就证明给他们。但，这种美，是可以传递给他们的。视频的推演过程就体现了数学的这种美。
【回复】回复 @戦场原礼亚 :好办 现在应试教育的课程非常完善 直接看那个就行了 看完初中看高中看完高中看考研 学的很快的
chendonghp:
本视频给人的误导和补充： 1. 视频的亮点：三角函数级数展开的几何解释很漂亮，一般标准微积分教程中不会出现。这个解释由俄国人Y. S. Chaikovsky提出，而非欧拉。作者把这一切归功于欧拉，虽然讲了个不错的故事，但听众中有不少学生，最好事前充分调研一下。 2. 该视频动画参考了:https://www.youtube.com/watch?v=x09IsbVZeXo, 其中花曲为直涉及到involute的概念，原视频中讲得更详细。 3. 完整的解释参考文章：《Where Do the Terms of the Power Series Expansions of Sine and Cosine Functions Come from? Involutes!》，https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1610.04825 4. 没有引用文献 我搜了一下，欧拉好像没有几何解释级数展开文章（《无穷小分析》里也没有提到），这个解释我最先搜到的相关内容：https://math.stackexchange.com/questions/2758418/deriving-the-power-series-for-cosine-using-basic-geometry。

【回复】b战神人多，我真的服，真的好厉害👍
【回复】哥们，你这这……[惊讶][惊讶]
学软工的小学生:
欧拉是个瞎子，他的大部分数学成果都是在脑子里想出来的，太强了

【回复】欧拉28岁左眼失明，59岁右眼失明[doge]
【回复】回复 @爵灬羽 :可是他的论文接近一半都是在双目失明后发表的，由他自己口述、儿子记录，然后发表[热词系列_吹爆]
【回复】欧拉心算能力爆强。他解决巴塞尔级数的时候得到的结果是π∧2/6，但是这个级数收敛很慢，他硬是心算算到小数点后五六位。还有他老年的时候两个学生因为一个计算结果起了争端，老头子硬是心算帮他们把问题解决了
墨流烟沙:
可能很多人不清楚渐开线（就是拉直那个轨迹）的弧长怎么算的，这里简述下: 圆弧的弧度公式s（θ）=θ，那么圆弧渐开线的弧长为t（θ）=∫s（θ）dθ=½θ²。

【回复】欧拉的伟大之处在于，他把所有人都折磨了至少三年[蛆音娘_扶额]
【回复】，[藏狐]渐开线，搞齿轮⚙️必学
花非花1212:
想一次性就把正确而严谨的东西交给学生是没有意义的 不严谨但直观的知识才是好的入门知识 我极力推荐初学者先看这种类型的视频

【回复】回复 @借我长生 : “严谨的东西都很直观”，至少在数学上 我很难找到类似的现象。
【回复】回复 @借我长生 :ε-δ定义极限比日取其半严谨多了，但是非常抽象
Consty子椰:
[笑哭]看到拉直还在发呆，看到相加才恍然大悟，我这脑子果然不适合数学

【回复】回复 @没事的我过来看番了 :这个我微信刷到过了
祖安做题家:
啊啊啊啊，拉直那条曲线到底是什么啊？？又是怎么算长度的啊？？？

【回复】你把圆滚动，那个点划过的曲线就是视频里的曲线
【回复】回复 @祖安打工专家 :就是渐开线啊，视频里就是渐开线的形成原理
【回复】回复 @新生代-农民工 :哇，本来不理解那道弧是什么曲线，你这一说瞬间形象了
颜之名:
其实就是算绿色的线，第一波展开太长了，减去一波，又减多了，再加点

【回复】核心是，你看着看着，挖槽欧拉公式，数学最美公式，居然看懂了
我一直是看嘉狗呀:
为什么sinX的值就是那些纵向拉直线的向量和，这一层我没理解

【回复】因为sin的值就是那条竖着的直线的长度，而这些拉直的线虽然长度依次减小但加起来就和这条竖线等长
【回复】圆半径是1，sinx就会等于角x的对边长度，从图中很容易就可以看出sinx会等于那个式子。
【回复】回复 @独孤仙琴奏孤独 :sinx的值是三角形内角x的对边比上斜边，这里默认斜边是1，所以sinx就是角x的对边长度，后面图里没有直接画出画出。
--路西法-_-:
我十分欣赏这种美，但和我数学19（150）没关系[微笑]

【回复】19分相当于没学，先从认识数和解方程开始
【回复】如果19分也怪天赋的话，那我觉得你心态方面确实挺有天赋的
【回复】19分与其怪天赋你还不如怪运气咋没让你多蒙对几个[藏狐]
sygn23:
弧度制的定义真的很巧妙，他成功的让数学逻辑形成闭环，如图（我猜测这或许是弧度制的灵感来源吧）

不知道哪个好:
尼玛，我要把欧拉像挂家里，让儿子逢年过节拜一拜。

菜子衿:
[脱单doge]虽然看不懂，但我看完了。有种脑子🌱的感觉。