【高中物理】辅助角公式的启示

你悟到空了吗:
up我有一个问题 像物理中的许多定理，公式都是通过观察自然总结归纳出来的，是自然的规律，我们人类只是作为一个观察者，但数学好像是通过逻辑推理出来的，并不存在对一个客体的观察总结。 所以我在想，如果存在一个平行宇宙，里面一些物理规律与我们的世界不同（如《信条》），那其中的数学规律是和我们一样由逻辑推导的，还是可以存在不同呢？[微笑]

【回复】可惜我们生活在这个宇宙里，无法谈论另一个宇宙的事情——我不管说什么，都是个不可证伪的命题
【回复】回复 @你悟到空了吗 :确实很巧妙的。不过造物主倒不是很有必要，我也不会讨论有没有造物主这件事，这都属于我存在的世界之外。
【回复】在您的知识层面上，我们世界是否有些物理规律非常巧妙或是非常精巧复杂，或是非常匪夷所思，而使您产生存在造物主这一信念呢？[星星眼]
数学和物理都很有趣:
确实是这样的，其实三角函数就一个自由度，也就是说知道任何一个约束（方程）就足以解出对应三角函数解，就是情形是定死的，所以在动笔之前就已有充足的信心知道这是一个一定可解的东西，剩下的求解就只是技术手段了[打call][打call]

【回复】回复 @不650不改名 :这儿也有阳哥粉丝[doge]
【回复】回复 @粥中人两三粒而已 :像一般问题会忽略g由于物体本身线度所造成的变化，所以和质心没有区别的 ，质心就可以代入质心的公式利用简单的积分知识求解，像易拉罐这种比较对称的物体还可以利用巴普斯定理，建议自己去阅读程稼夫老师的力学篇
nn__--:
请问物理的话，课本上的习题都要做完吗？我很害怕自己是在做无用功来浪费时间。如何界定“真正掌握了一个知识点而不需要继续练习？”

【回复】我觉得如果你是真的已经精通了，那是感觉非常明显的，比如，你拿到题目都是瞪一会儿就知道大概要怎么做了，或者一眼看出来肯定能算到底了，剩下的就是辛苦的计算。如果是这样的话，说明你训练的差不多了，当然考试前还要再回来熟悉一下。所以你提这个问题很有可能就是因为你还没有精通。
【回复】可以自己出题，就说明对这个概念掌握到位了
【回复】做题可以帮你建立对概念的正确认识，因为语言表述都存在误差
phymath-:
喜欢这种数形结合的方式[星星眼]就像对一个死气沉沉的公式赋予了生命赋予了意义一样 比起严谨的数学证明我还是比较喜欢咕咕的理解方式[保卫萝卜_笔芯]

【回复】几何总是最直观和最好理解的，可惜以后的高等数学有些是高维度的，就没法再数形结合了，只能通过代数来探索
Xeonpoint:
这里再介绍另外一种把 sin 和 cos 的内在联系挖掘出来，消去自由度的方法（其实就是所谓辅助角，和视频是等价的），也即两角和的正余弦公式。这个公式有很多种证明方法，其中有一种利用单位圆和向量内积的证明方法其实和视频中是一样的，这也说明这个公式把 sin cos 的联系这层信息包含了，利用合角公式就是和上面所讲的方法是等价的。为了方便研究问题，我们需要把这样的方程转化为一个角的三角函数，这样做一方面是因为我们只会处理一个三角函数，另一方面我们观察到了式子存在这样的结构。那么就有 $ a\sin x + b \cos x = C = A \sin\left( x + \phi \right). $ 利用公式，再加上勾股定理，我们自然得到了答案。 关键在于两角和的正弦公式应该也能把单位圆上 “运动” 的信息体现出来，能帮助我们确定情形。虽然这样做又引入了自由度 $ \phi $，不过不要紧，因为他已经被参数 a b 决定了，所以也是确定的。

意zzzzz:
@数学和物理都很有趣 推荐过来的！新高一[打call]一直困惑，就是为什么加速度等于零的时候，速度会最大，听完咕咕的讲解，瞬间豁然开朗（之前看了好多讲解，书本上面的答案，[喜极而泣]App上面的付费提问，还是没弄明白

【回复】回复 @沅芷-_-_- :我私信发给你啦，这是我根据视频一点理解
【回复】回复 @意zzzzz :这个我看了四遍，但还是有点不明白
【回复】回复 @沅芷-_-_- : 不好意思啊，[笑哭]我不太知道视频链接在哪。不过你可以去搜标题：必刷题：两位热心网友聊聊《加速度》 就是这个视频～
晴清Qq:
再唠叨两句，这个假期有很多新的朋友们来关注教主。但不晓得有多少新朋友成功领会到教义。（我也不敢自称我明白，但至少还在摸索。） 总觉得这几个月里显得有些疲软，好像一直都有人看不上这些内容。对此我想说，这个频道做视频的风格显然是精致讲究。一个会为视频做讲稿的up主讲出的话，多半不是废话。 而且从过往up的视频发言评论那么多细节中，（如果你有看的话）显然能感受到up的水平，不仅是学术上的，更是道德上的。 短见者总是把远见者视作瞎子，无知者总把有力量的人视为瞎子。 而且教授真的是会很用心去回复评论的人。其用心程度罕见，令我十分诧异。我自己是没有看视频评论区的习惯的，而很多视频的评论区确实也不值得看。但这里不一样，之前很多视频的评论区都相当精彩，我自认为是个有品位的人，有不少内容我都直接留文档存档打印出来了。我愿成咕咕呱呱为分身区UP主（他俩可以分身，在视频和评论里也可以分身。）和思想区UP主。 要去动脑子呀，朋友们！ 如果不愿意思考探索的话，（如果仅仅是被刷题视频吸引进来的）还不如取关呢（微笑） 你一定会错过好东西！你亲手推开了他们！

一只淋过雨的羊:
事实上，所谓隐与显就是在谈论事物的本质与表象。显然，单位圆是我们在学习三角函数时最基本最核心的东西，只要角度定死三角函数值自然也确定了。这里需要理解的点是，我们引入三角函数包括弧度制的意义就是将一些复杂的角度代数化，更便于我们进行研究，但需要注意的是角定值定的这个观点，不要因为看到sin α、cosα就觉得说这个好可怕不会解，这都是围绕α这么一个量去研究的，也就是说自由度为1，要有信心去把它解好。至于辅助角的这个式子的结构如何与向量内积联系起来，一个是对单位圆概念的深刻理解，在看到三角函数的时候能够下意识地去想到去引出单位圆，另一个就是需要去想，看到这个式子我能和什么联系起来，还没有学向量的时候我可能会想，这个和那个和角差角公式有相同的代数结构，但是学了之后，我们就需要意识到，这个结构与向量内积的联系（我记得在人教版数学课本向量章节中，有利用向量推三角和差角公式的例题，如果没有那当我没说）。[热词系列_优雅]有不足欢迎指正呀 ，有想法欢迎探讨哦

柚柚鲜柠:
被@数学和物理都很有趣 推荐过来然后反复横跳一起看哈哈哈哈[打call]好快乐

调_和:
这类在我高一的一次小测试见过，对应习题如下

【回复】这不是程稼夫力学P111吗，昨天刚看
涟成川:
还可以把（acos，bsin）理解成一个焦点在x轴上的椭圆的点，那么acos+bsin＝c就是椭圆与x+y＝c的焦点，在画个图就很明朗了。[妙啊]

晴清Qq:
浅谈一下，这段时间学习中关于确定性的一些想法。 我自己倒并不倾向于把确定性理解为函数的显和隐这种关系（隐含是显含的本质） 我自己更舒服的理解是，确定性，它直接指向故事的起点。它是合理性的一个部分。合理性：把一个东西讲的显而易见，合乎直觉，合乎判断。合理性提出的要求是，把一个过程的每个细节弄得明明白白，体会他的演化。这样的要求指引我们回到事情的根本。 一座大厦从根基开始搭，往上有变化万千的变量，而确定的不变量是根基。与纷繁多变中找到不变多美妙呀！ 我觉得在对一个基础的元认知有充分的认知和理解之后，看事情会感受到一种合理性，也能感受到那种确定性。（在一个系统里，在给出基础要素和法则之后，他就会以某种确定的方式运行下去。）视频里讲的，我们看到一个东西总会被他写出的方程禁锢住思想。这个问题其实可能在圆锥曲线中体现的更为淋漓尽致。我们总是习惯去算。传统意义上，圆锥曲线也总考察学生们计算能力。（这些数学式子能够被凝练出来当然是伟大的，但我们仅仅从式子去理解就片面了） 以我遇到的一个题为例，他首先给出了椭圆的方程，而后描述了椭圆内的一个三角形关系。（填空小题） 直接上来做很复杂，解方程解到生无可恋。 而一个巧妙的做法是，以这个确定的三角形去寻找合适的椭圆。 这完全是另外一个看待结构的方式。帮我反思为什么，凭什么怎么会有这样的信心和动机的时候？其实就来源于确定性，我不依靠于椭圆方程，告诉我它是椭圆。我只要有两个焦点，找到满足所有到两焦点距离之和为定值且大于焦点间距离的点，就可以找到椭圆了。 （原始的第一定义） 本人以为圆锥曲线是一个相当好的体会确定性的宝藏练习。（当然标准精确求解能力也要有啦）再而言，确定性不仅给我们提供了一种敢于切换自己视角看东西的信心。也在我们寻求优化的时候，给我们鼓励。（这个事情就是这么一回事，我总可以想想他有没有更好的观察视角？我能不能给出更好的式子，更好的理解？\^O^/） 确定性，另一个美妙之处就是因为这种确定性，当你对他有所体会后，你会觉得书越读越薄。当我们复习三角函数时，老师展示了用单位圆推出cos阿尔法减贝塔的公式。有了它以后，你可以推出几乎所有的式子。（借助于诱导公式和函数替换） 确定性会深刻你对合理性的理解，会让你在需要他的时候去运用它，拥有灵活处理他的能力。这些对于事物内在联系的确定性，也将会成为我们面对未知的底气。

_Clumsy-bird:
咕咕老师，我有一个疑惑 我附的这道题问斜面是否静止 我已经分析出来了物体A对斜面的作用力，斜面自身重力，地面对斜面的支持力在竖直方向上平衡 那么斜面与地面间为啥没有摩擦力啊 我们老师说它没有相对滑动的趋势，所以不受 但是我不明白它为什么没有相对滑动的趋势呢[大哭]

【回复】施不施加F与斜面受力无关
【回复】你受力分析已经出来了 A对斜面的作用力的合力与斜面的G同向 没有水平方向的力 如果判断趋势 可以用假设法
【回复】简单，直接分析约束，上面物块对斜面的约束只有竖着向下的全全反力，所以斜面水平方向不受力
AI视频小助理:
一、三角函数中常见的题目类型，以及如何通过联立方程和化简得到答案。同时，强调了确定性问题比求解更重要。 00:01 - 三角函数问题的常见类型 01:32 - 解法:联立sin和cos方程 03:07 - 解析式中的sin和cos存在关联，不易求解 二、使用sin和cos之间的约束来解决问题的方法，以及如何解读sin和sin联系的基本定义。 03:55 - 定词不是唯一解决问题，有两个解 04:21 - 加限制后，sin和cos之间联系有多种表示 07:27 - P矢量是R和P矢量做内积的结果，写成B逗号A 三、如何求解一个方程，通过投影和参数锁定的方式，找到了两个解，其中一个是方程的解。 07:49 - R和P是固定的，内积的大小等于C 08:36 - 投影长度等于C，cos西塔等于根号A方加B方 11:14 - 方程解为cos西塔，C为负根号A方加B方 四、如何用辅助角表示阿尔法，并通过sin和cos的联系解决解析表达式中的隐含问题，强调了数形结合的难度。 11:42 - 阿尔法可以用西卡表示出来 12:51 - 解除西卡后，阿尔法被定死了 14:23 - 难点在于sin和cos的联系以隐含形式存在 五、数学中的隐含条件，即对于一些表达式，可以将其转化为更简单、更直观的表达方式，例如将sin和cos转化为点动和不动的关系。 15:36 - sin和cos的关系可以被冥冥之中锁死 17:06 - 一个质点如何在圆上动，可以用不同方式表述 19:19 - 转化条件时要有开阔的思路，建立信念 --以上内容基于视频内容由模型生成，仅供参考

肖教练的小迷妹:
冰冻三尺，非一日之寒；粉丝三万，非一夜之功…

晴清Qq:
其实，隐含这个思想在数学题里面也有很多运用。记得之前做过一道数学练习题，大意是，给了一个很难运算的复杂函数，但是其大致图像趋势可以画出，取函数上一点和空间内运动直线上的一点，对这两个点的坐标进行运算 如果直接拿代数式翻译，会算死过去，无脑爆算[笑哭]但其实他图像上就比较好理解，就是问最短距离而已 （可惜找不到题目了，不然可以拍给大家瞧瞧） 我们在大多数时候都太习惯于写一些表达式，用笔去思考，从而从中获得某些踏实感和安全感。 但走在一条看不见方向的路上，所获得的安全感和踏实感大抵是有限的，也是可疑的。还是要在路口建一座塔，从高处去眺望，从整体去把握，看这个事情是如何被确定的。 为呱呱打call[打call][打call][打call] 顺便还有个小问题， 有效数字的意义到底在何处？ 我的理解一直是有效，数字是我们能够准确测量的，最后一个是估读出的数据。但之前有遇到过一个题目，根据已知分度，能够读出的数据就是0.50。但是题目要求保留三位有效数字，那答案不就得写成0.500吗？但是0.50才是有意义的，如果写成0.500，感觉反倒在精度上模糊了。 所以到底该写什么呢？😳 谢谢教授^ω^，祝教授能够在暑假达成十万粉丝！祝早日百大[打call]

【回复】可以这样的，500x10负三次方，我们这是这么说的
超凶的世一殿下:
提供两个思路，一个是平方后化弦为切，一个是用和差角公式把sinα代换出来。虽然看起来有些繁琐，但特殊情况下用起来其实不慢的，比如当b²=c²的时候，第一个...

玉骨长清:
每次看咕咕呱呱都觉得思想得到了升华[打call]

【回复】是真的有独到的思想[打call] 这个视频14分钟之后的分析很通透，而且还暗中呼应了椭圆那讲的思想。听了很有收获，之前爆火的椭圆视频我现在也看得更明白了，不再只是欣赏一个奇迹。