托里拆利小号悖论是什么？为何小号的体积有限大，表面积却无限大

K331_2:
这么一想的话，一块普通的正方体，我切一次，它的表面积就多两面，数学上我可以无限的切下去，切出来的结果表面积可以趋近于无限，但正方体本身的体积不会有任何改变。 要是把它想成一个正方体油漆块，无论我怎么切，这个表面积都是充满油漆的，但用另一个油漆去粉刷，却需要无限的面积。就像某层楼说的：这层油漆的厚度可以无限小。一个三维油漆块本身就可以分成无限的二维表面积。

【回复】切蛋糕，体积不变，表面积无限增长，但不连续。他这是找到了连续的图形。
【回复】回复 @鸡翅膀大侠 :在说数学。我也是学物理的，但讨论数学的时候物理的思想可以放一放，这并不是在讨论数学在物理上的应用，而是数学作为人类逻辑的结晶，它本身的性质。
【回复】回复 @拼音佳佳 :你可以切到一半嘛[OK]，这样就是连续的了。
淘气喵w:
我还以为是托里拆利开了个小号（现代人思维）[脱单doge]

bot_Ozzz:
有啥好悖论的，表面积和体积本身就没有直接可比性，就算表面积无限大，油漆厚度理论上却可以无限小，那么体积有效很奇怪么[疑惑]

【回复】再看一遍吧，这个属于分形几何，还是挺神奇的。就以身边的抽象几何体为例，正方体，四面体，哪个不是表面积有限的
【回复】回复 @身高的英文歌 :现实中不存在无限薄 油漆最薄也只能分子级 就算是概念也有最小长度普朗克长度
【回复】回复 @牛肉味苹果干 :分形几何和这玩意是两个东西，up猪用猪脑把他们硬联系在一起。最后让不懂的人越看越迷糊
绯月大叔:
面积无限没关系，但是油漆有厚度。不然有限体积的油漆完全可以刷无限面积

【回复】如果没有厚度，一滴油漆就能刷整个地球
【回复】回复 @减速世界 :有厚度也能刷[Cat_coffeebath]
【回复】油漆厚度越往里也越薄，最后油漆厚度会趋于零，积分完之后还是一个有限的数
忧伤的肥橘:
这种东西存在的，我们只是被我们所在的宇宙限制住了，真正的宇宙什么都有，所以说我的二次元老婆是存在的[脱单doge]！

【回复】从民科突然变为死宅[doge]
【回复】你把评论区提高了一个高度
亡命连接峰哥:
二维无限vs三维有限，一张厚度为0的纸再怎么折叠体积还是0

【回复】折叠无穷多次之后，这个结论就不成立了
【回复】回复 @bili_36552416686 : 无穷小和无穷大都有正负的好嘛
【回复】无穷小*无穷大可以是任意非负数
小生弈尘:
等等，面积其实也无限吧？（按照边长围起来算面积啊）阔出去的角那里[思考]

【回复】回覆 @mosquitocoils :不能說多出來的面積趨向於0總面積就收斂 （雖然這裡的確收斂） 經典反例： 1+1/2+1/3+1/4...不收斂
【回复】但多出来的面积会越来越小，趋向于0，总面积趋向一个有限数
【回复】求积分，是收敛的，就是有限的，你算一下就知道了
太上一君:
这期视频给我一种看到一半戛然而止之感。 斗胆贴一个外部链接，无论发生什么，我想我都已经预料到了怎么回事。 托里拆利小号悖论的破解 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/46430536

【回复】回复 @大buabua :这个问题已经上升一个维度了，如果像之前的问题不考虑油漆厚度的话，用有限的油漆铺满无限的平面，这个问题放在2维里是无解的，这个问题有解是因为我们在3维层面去解问题，本质上就是无限分割油漆的Z轴，油漆就可以分成无限的平面，就可以铺满了 如果要限定油漆的厚度，那3维里就是无解了，因为油漆z轴已经定死了不可无限分割，参考升维前不考虑厚度分割油漆第3维的解法，那么这个解法就是要分割油漆的第4维，也就是去无限分割一个时间轴，每个分割出来的时间点，都让一个厚1毫米的油漆块铺平面的一个位置，那么站在4维上看这整条时间轴，就是可以铺满平面的
【回复】思考题：如果要一毫米厚的油漆覆盖小号外表面呢？
考不上物理所的薛定谔:
不妨就把油漆倒满小号，凝固之后完整的取出，把问题单纯的转化为这个油漆块的体积和表面积问题。不用考虑什么涂油漆存不存在厚度之类的。然后两个反常积分，体积极限存在，面积极限不存在，这是事实。[doge]

马神csgo杂谈:
这种就好像说时间如果是无限的 先出发的乌龟永远不会被兔子追上

【回复】这个可是个收敛级数哦，极限存在[doge]
【回复】回复 @Aero橙子 :是的 时间如果是连续的 就永远不会达到下一刻 这里其实一样的 长度也是有最小单位的
六神滑撸水:
就一个收敛问题有啥好违背直觉的[疑惑][疑惑][疑惑]

【回复】因为代入了物理意义（现实），所以叫违背直觉[doge]
【回复】回复 @大buabua :到最后就是搓一条直径两毫米的无限长的棍
【回复】回复 @六神滑撸水 :真的，古人人觉得违背直觉有问题吗，大学没有高数思维的专业觉得违背直觉有问题吗？ 看给你能的，nb坏了吧
ONIER_过的数字:
这可能就是高维对低维的降维打击了吧。一个有限的高维它对于低维来说就是无穷的。

【回复】维度与维度之间通过无穷建立桥梁
进学而后知道:
当你认为体积是一个实量的时候，面积就是实量为零的标量，因为面的厚度为零，无论它在面积上标量如何大，它的体积实量也为零。 意义是一个形象的实量概念，而非抽象的标量概念。

【回复】回复 @大buabua :厚度上可以重叠吗？油漆可以穿透小号的壁吗？小号两壁缝隙大于2毫米的部分是有限的。
【回复】回复 @大buabua :外面的体积本来就是无限的
【回复】回复 @大buabua :这个问题已经上升一个维度了，如果像之前的问题不考虑油漆厚度的话，用有限的油漆铺满无限的平面，这个问题放在2维里是无解的，这个问题有解是因为我们在3维层面去解问题，本质上就是无限分割油漆的Z轴，油漆就可以分成无限的平面，就可以铺满了 如果要限定油漆的厚度，那3维里就是无解了，因为油漆z轴已经定死了不可无限分割，参考升维前不考虑厚度分割油漆第3维的解法，那么这个解法就是要分割油漆的第4维，也就是去无限分割一个时间轴，每个分割出来的时间点，都让一个厚1毫米的油漆块铺平面的一个位置，那么站在4维上看这整条时间轴，就是可以铺满平面的
飞鸟a游鱼:
一旦涉及到无穷，我总是感觉脑子不太够用了。

万寿君父:
这个世界的物质肯定有最小的组成单位目前是夸克，所以一个夸克是最基本的长度。所以雪花分到长度为一个夸克的时候就分无可分了，他的周长仍然是有限的。 至于纯粹的数学问题，那好像确实是无限的。

【回复】夸克下可能还有弦或p膜，真正的最小是普朗克长度
【回复】目前的最短距离是普朗克长度。
小马利亚的秘密:
面积不带厚度，和体积没有任何可比性，这波啊，叫做升维打击

【回复】那不就对了嘛，高维对低维就是这样子咯，完全无法违抗
云玩家at:
其实很简单，因为数学是人类的科学工具，但是数学本身不是绝对正确的，包括十进制本身就是人类从十个手指计数沿袭下来的习惯，本身不是绝对正确的东西公式推倒出bug再正常不过了。。。

【回复】回复 @皇族冷特 :😂哥哥 你举的例子不太行 你都说了数学是工具 工具还分“对错”吗 机制有很多 只要下一个定义几进制都行 工具可以用好不好来划分 你可以说习惯用筷子不习惯用刀叉类比于习惯用10进制不习惯2进制 但是你不能说刀叉是“错误”的 更不可能有“绝对正确”的工具 你有类似的想法很好 在现代数学与逻辑学中有个很好解释 可以看看哥德尔不完备定理
【回复】我倒是明白你想表达什么，但是你的表述就很奇怪。是不是正确也是人类规定的呢？什么叫做“绝对正确”
【回复】这个例子不对，十进制只是表达方式，自然数和实数公理系统都不是基于十进制的。另外，目前在数学上广泛使用的公理体系都自洽，如果你能举出一个bug的例子，只要你还不到40岁，下一个菲尔兹奖非你莫属。
账号已注销:
既然角度可以倾向微观的无限分形，那岂不是颜料也可以倾向微量的无限分割？

【回复】现实中不存在无限分割有最小尺度普朗克长度 分到这就不能分了