【manim】用小学二年级知识推导球体积&表面积

泥岩小姐的perro:
看到标题我还以为是毕导的小学二年级

【回复】哈哈哈哈毕导的又一个广为流传的段子
散发着蓝光的超新星:
给体积公式求关于半径的导数，这个导数的几何意义就是球半径增加了dr后，体积变化量就是那层很薄的外壳的体积，dr接近0时，那个外壳内表面积几乎等于外表面积，然后拿外壳的体积除以厚度也就是半径变化量dr，就得到球体的表面积，而4/3πR³关于半径的导数是4πR²，所以就可以得到表面积公式也就是4πR²

【回复】回复 @新天介观员 :我们书上给出的定义:就是某一段时间内，这段交流电产生的热量和某个直流电产生的热量一样，那么这个直流电就是交流电的有效值，那么具体是怎么算的？对正余弦交流电，为什么有二分之根号2？这绝对是推导的吧，结果我们物理老师不会[喜极而泣]，我猜测。是I²R，也就是I²（R为常数）对t的积分么？
【回复】回复 @新天介观员 :我看懂了，正余弦的有效值一样的，在用sin²＋cos²＝1，最后÷2，开根号。说实话有点巧
【回复】回复 @新天介观员 :类似的，还有积分，我们高中物理做过进阶题，求交变电流（一般为三角函数型）在某一段时间产生的点亮，给出的是i-t图，其实就是积分。但是我一直有个疑问，电流的有效值是什么？是怎么推导的？
Typicalidiot:
谢谢up主，之前学球的体积公式时书上说做个倒沙实验，可以检验这个公式，也没说怎么推出来的。看的我一脸懵圈。多谢up主解答了一个高中生的疑惑。

【回复】回复 @Very_Funny_Funny :宁是四维人，能在三维的纸上作出球并且数出来还是有别的高见？
【回复】回复 @Very_Funny_Funny :宁不行啊，我在娘胎里就把欧拉公式推出来了
【回复】哈哈，我一个初中生居然通过在草稿纸上画图就把公式推导出来了
Bob_F_Stevenson:
小 学 六 年 级 倒 沙 子 法[热词系列_你细品][tv_doge]

【回复】回复 @质苏17 :人 教 版
无名小匠:
要用微分和积分解决的问题变得非常容易和直观，感谢up。我还没想过这么漂亮的解法。

【回复】回复 @东风锐气21 :祖暅原理求体积没问题，但是表面积需要用到一点巧妙极限思想，历史上祖冲之祖恒父子只给出了球体积公式，没有求表面积公式，实在是可惜呀_(:з」∠)_
【回复】微积分不是二年级学的吗[doge]
【回复】回复 @iliqiIiq :不，是小学一年级[呲牙][呲牙]
律政不亡_Ctrize:
说句老实话，圆锥公式的1/3是抛物线系数，得到圆锥公式之后，球体的表面积和体积公式迎刃而解，只是一直不知道这个1/3的系数是什么来的[呲牙]，现在知道了[妙啊]

【回复】up,你难道认为“同底等高的棱锥体积相等”这个命题是公理吗?不用证明的?
【回复】回复 @塞瓦梅涅劳斯 :这个定理实质上是祖暅原理的应用，然而要严格证明祖暅原理的话就需要应用定积分，因为祖暅原理的实质也是定积分的应用，所以你都已经可以用定积分观众都能听明白定积分了何必再去用祖暅原理？又怎么能叫小学二年级式证明？ 既然是直观地小学二年级地证明那么看看感受感受就好，非要强求严谨你应该去看高数课。
【回复】回复 @塞瓦梅涅劳斯 :这样啊。三棱锥底面积相等可以由相似得到每个截面面积相等，进而祖暅原理得到体积相等，估计是祖暅原理太直观所以让人容易想当然了。
xpngzhng:
视频里面用祖暅原理推导球的体积公式的过程，实际上在80年代高中数学立体几何甲种本和后来90年代高中数学立体几何课本里面都有，2000年左右启用的高中新课程数学课本里面把这种推导删掉了

【回复】为啥啊，我是20级的，我低价买了学长的以前16年辅导书，和同学最新版20年辅导书，以前的辅导书是有一些推导过程的，现在的辅导书反而删减了非常多，就像等差和等比的公式推导需要用到倒序相加法和错位相减法，后面应用时需要用到，其实我并不觉得了解推导过程是多余的，我们可以知道它怎么来的，更好的理解
【回复】没删，上一版人教a版必修一还是二，的课后拓展有介绍过祖恒原理
达芬奇的诅咒:
你连体积和面积都没严格定义谁知道你求的对不对[doge]

tnmy83:
所以，当你在小学学到圆的面积时，就已经使用了微积分的思想[热词系列_知识增加]

【回复】那什么，教科书上圆面积的公式就是这么推的，我记得很清楚_(:з」∠)_
Somnolibraria:
我上初中的时候想出了这种方法，然后发现我不是第一个[doge]