数学老师不讲的微积分：1. 微分是什么？

AI视频小助理:
一、微积分的起源和数学思想，强调了微积分是形象而直观的，希望能够帮助同学们更好地理解微积分。 00:18 - 微积分系列的初衷是帮助学生更好地理解微积分及其数学思想。 00:52 - 微积分最初是为了物理而发明，应该具备形象易理解的数学思想。 02:39 - 函数的数学思想是几个数学变量的相互关联。 二、微积分中研究变化的基本思想和微分的定义，强调了微积分是对变化的辩证思考，帮助我们找到其中的数学规律。 03:01 - 微积分研究变化，存在等式或不等式关系 03:41 - 研究整体效果，微积分有两种思想，贴近或退后 04:52 - 微分是无穷小变化量，X变化了一点点，但不是零 三、微积分中的导数概念，它是连接微分与微分的桥梁，可以用于计算微分之间的关系，具有重要的数学运算工具作用。 06:02 - 函数的微分是理解微积分的关键 07:50 - 导数是计算微分关系的重要数学工具 08:54 - 导数可以推广到多元微积分，被定义为偏导数 四、微分和导数的区别与联系，微分可以用于任何可微的变量，而导数是函数的导数。同时，视频也介绍了链式法则的推导方法。 09:00 - 微分是广泛存在的，不管变量是自变量还是因变量都存在微分。 10:20 - 微分最强大的地方在于，可以定义一个新的变量等于那个函数。 11:26 - 链式法则就是求导数的方法，可以用于任何关于U的函数和U的函数的情况。 五、微分的核心要点，即不管自变量还是因变量，只需要展开微分即可，以及隐函数求导的方法。希望同学们关注下一期视频。 12:02 - 微分不管自变量和因变量，只需展开所有微分 12:43 - 隐函数求导直接在等式两边加D求微分，常数不影响 13:26 - 本期视频主要讲解微分作为数学工具的思想，下一期讲解微分运算技巧和方法 --本内容由AI视频小助理生成，关注解锁AI助理，由@LYY00852 召唤发送

【回复】笑死，我这个视频的字幕都是GPT做的，这个AI是吃醋了嘛？[滑稽]
互反的数学世界:
没讲清楚是因为没办法给学高数或者数分的讲微分几何。[笑哭]微分本质上是切空间的对偶空间[doge]

【回复】谁规定大道至简就是好的[doge]有的领域，大道至简很好用，例如我立个宗教，我说，大道至简，就是都听我的，东西都给我上贡，这样大道至简自然好用，前提是我那套教义一定要最笨的都能看得懂，而且必须是一两句口号，一本和薄的小册子的教义，并且能引起共鸣，就类似川建国筛选他的粉丝就是大道至简这一套。MAGA即可，教徒就会相信输消毒液能治病。 而真的做学问都是在充分占有研究材料的前提下才做出来的。按大道至简，毛选就没几句话了，资本论哪用三大本厚书还没写完。[妙啊] 至于能不能看懂那是另一回事，真正有心了解的就会自己去查资料，自己问那是什么意思，当然要看别人有没有打算回答了，不过问一下也不会损失什么。没打算学的就不学也就没什么关系了。[吃瓜]
【回复】确实，微分几何才是这个思想的终极形态hh
【回复】所谓说大道至简，一切的本质都是通过最简单的语言描述，但是你这里用的词汇，明显不是常人能够明白的
如画江山啊:
我在韩国学的教材，导数叫微分系数 我感觉这个概念比导数直白更好理解多了

【回复】其实翻译的没错，微分系数的英文是 differential coefficent，18世纪，拉格朗日(J.-L.Lagrange)在企图用代数方法定义微积分的基本概念时，先定义x的函数的微分A·Δx，再求出它的系数A，并称为differential coefficent(1934年杨德隅先生的书，也用该词对应中文名称微分系数。这个名词中英文今已少用)。而导数的英文是derivative，本身就是推导衍生的意思，这个数是dy/dx这个式子推导出来的，所以叫导数。19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言，对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式。
【回复】我擦，真的挺直白的[笑哭]
【回复】把导数叫微商，是不是比微分系数更好理解
多特鱼:
讲得挺好的，只是个别地方有错误。微分形式不变性是涉及复合函数的，另外把dx理解成\Delta x的极限那是无论如何都是不对的。如果这样解释，dx就是0，数字零，那就啥都没有了。在牛顿的流数术里，“瞬”还被伯克利批评为似零非零的灵魂，在你这里dx直接变成零了。 大多数老师确实不会这么讲微分，一个是时间不允许，另一个是多数讲授微积分的老师也未必对微风的概念有深刻的认识。

【回复】dx是Δx的线性主部啊，教科书不是讲得很清楚么
【回复】回复 @bfxxu :或者这么说，课本上确实是说Δx＝dx，但是为什么Δy≠dy？这就是我想说的，Δx和dx是两个不同的概念，他俩划等号是一个巧合，只是因为我们考虑他们的时候是相对于x这个变量（把这个变量当做自变量）来说的。更一般的，dx和Δx不一定相等。因为你不一定要相对x这个变量去讨论。
【回复】回复 @从爱尔兰到契丹的恶名 : 你所说的那种教科书的讲法是错误的，如果按教科书的讲法，dx 是哪个集合里的元素？你再想一想如果按微分几何的讲法，dx 又是哪个集合的元素，这两个集合是同一个集合吗？
TELF总裁:
提前叠甲：没有任何显摆自己的意思。 感觉老师不花很多时间解释可能是这玩意太简单了，默认智力正常就应该能自行领悟

【回复】不是，是他们本就不懂。
【回复】回复 @粉红海神 : 点了，很多老师自己也没有很深刻的概念
光丶落在你脸上:
知识的诅咒。听得懂的会听得懂，听不懂的会听不懂。A向B传播知识，如果A举的例子B听不懂，B就一直不会懂了 。这个“例子”就是知识的诅咒，因为A不可能知道B的日常理解中是否包含这个例子。嗯，我听不懂。[大哭]

qgdds:
说实话没觉得函数这个词翻译的有多巧妙，反而英文直白最贴近本质，毕竟原生语言的优势，最直接的，一个minus就不用纠结减去和负数的问题了

【回复】有没有一种可能，你不明白＂函＂的意思？
【回复】回复 @一个西皮 : 主要function这玩意是有词根和其他意思的。很多英语也是借用已有的词汇去定义新的词汇。然后function最后还能简写成一个f。但如果是中文要翻译成功能、映射、对应，简写就不太好写了，一个汉字写起来太费时。
【回复】回复 @斯托克斯大一统 :楼主没错啊，“函”这个词本来就不贴近生活，让人望而生畏。尤其不利于初中阶段的学生。
我又回了来:
听到9分四十八秒，找到我想要的微分变换，心满意足的离去

不能急了:
好像最后也没讲为什么可以用四则运算法则把左侧那部分拆开，直接就说可以用四则运算法则拆开。反正我没有基础，没太看懂。

__真理__:
断断续续也学了两年微积分了，现在最深的对于dx的理解就是一个鬼魂一样变化的量，因为它既不是一个依附于当前函数的量，也不是一个完全与当前函数无关的量，它的真正意义是游离在已知函数f(x)之外的一个“观测者”给它的带有原始自变量变化的基准，使得dx与x由于在量级上的不同而只存在像游离的鬼魂一样的关联，差了两个无穷小级的变量被忽略，因为它们即使积分之后也没有意义了。说白了就是人为给予一个关系中多个变量的表达来把对于“不变”的“变化”分开表达成了“变化”与“不变”的运算（比如dx方就是不变中的变化，因为对于dx来说，x大了一个无穷量级，是不变的，而dx则是变化的，dx方实际上是x加上一个无穷小的变化所导致的变化量，（单用dx方表达其实我感觉不是很合理，但就这样吧谁让牛顿是发明者呢）而dx方等于2xdx， 2x就是大一个无穷量级的“不变”，dx是纯粹的“变化”）

我才是madbunny:
很多人觉得微积分不够“数学”：它不是基于那些一看就正确的假设，一步步推演出来的。像是一些数论问题，我们使用简单的反证法就能证明2不是一个完全平方数。 但是，如果你真的认真思考你会发现：加减乘除本身就是人观察出来的呀。刚上大学的学生有几个能证明出来乘法交换律的？ 微积分也一样。我们是先看到了曲线斜率，并利用曲线斜率函数求得曲线下面的面积。至于“微分”、“无穷小”这些东西，反而是为了解释曲线斜率发明出来的。 其实这才是数学，它是基于观察和推理的科学。我们之所以对观察的部分陌生，是因为小学和中学，甚至大学，根本不教“观察”的部分。 为了省事，他们只教你怎么算，并不管你理解还是不理解。

36453427952_bili:
我小学学历 就只会简单的加减剩除 可以学会这个吗😬