北大数院up的大学数学科普第一期——数学的基础：逻辑

nichijou的涂山苏苏:
牛的，不过你用的不单纯是加法结合律，还用了交换律，这个题有一个不使用交换律的做法：a+b=0，因此c+(a+b)=c，然后结合律得到0+b=c，于是b=c，这就说明逆元唯一性不依赖于交换律，因此这也是一般群的结果

【回复】回复 @伪装成乌鸦的乌鸦 :注意仔细看群运算的公理哦！！首先，群运算是群的笛卡尔积到群自身的一个映射，相当于已经规定好了一个加法运算了，所以怎么可能理解成两个数相加没有意义呢？其次，逆元的定义就是，满足“这两个数左加右加都是0”这条性质的数，定义是给出逆元这个名词的等价判断法则，c+a=a+c=0本身就是定义哦！就好比你问出一个“为什么你妈妈是生你的”这样的问题，“妈妈”这个词就是这样定义的你问为什么[藏狐]
【回复】回复 @伪装成乌鸦的乌鸦 :而且，逆元绝对没有用交换律去定义，这种认知是绝对错误的，律这个词本身就是具有广泛一般性的东西，仅仅对逆元本身定义的限制绝对不能拿来去顶一般东西，除非某个系统的性质比较好，可以在逻辑上论证特殊能推一般，就比如线性映射以0为不动点之类的，但是定义本身绝对不能把律这个字乱用的
【回复】回复 @伪装成乌鸦的乌鸦 :不过事实上，确实存在完全不依赖于任何交换形式的证明方法，这个因为难度较大所以我没有选做练习题，在聂灵沼，丁石孙老师的《代数学引论》中，群运算的定义是只要求零元和逆元具有左乘的部分，也就是，零元e定义为ea=a(任意a)，逆元同理，而实际上可以证明，左零元也是右零元，左逆元也是右逆元，这是聂，丁书中的一个练习题，你可以找来读一读，看一看，不过，如果我们定义的时候直接定义上零元和逆元本身具有交换的性质（这样更符合我们对零元，逆元的朴素直观），那么“不依赖交换律”这个问题，依据定义本身就只能局限在“不存在一般交换律”上面，这是数学定义本身的要求决定的，不是我主观理解的，你也要在服从这种定义上的要求的基础上，去做其他的思考和探索
nichijou的涂山苏苏:
逻辑这玩意吧，其实虽说需要强调，但强调一下也就够了，熟悉了游戏规则我觉得就行了。我不喜欢搞到逻辑主义那么复杂，我觉得对于绝大部分数学学习者而言，能够明白无矛盾性，良定义性，推理规则，可判定性，解释与模型，公理化就够了。

那一缕阳光很像你:
看了圣阳哥的很多视频 觉得圣阳哥物理也不错 为啥不讲高考物理？

【回复】回复 @ChZR- :辟谣，280，不知道宁们这些谣言从哪冒出来的[藏狐]
【回复】一般到了大学几年之后就会忘记不是现在专业的学科[辣眼睛]
我会变成我的光:
怎么说呢 虽然数学成绩不是学校里最突出的学生 但对数学就是喜欢 那种难题做出来的爽 那种思考的碰撞 就是数学的一种魅力 虽然经常碰到难的大题算的头皮发麻还是做不出来 但就是很喜欢很喜欢 说不出来 就是爱哈哈哈

【回复】是的，很爽（虽然爽完还是做不出来）
Eivilo:
哥哥您好~数理逻辑和集合论，能不能各推荐一本优秀的中文教材？我学了1年了，还是入不了们[大哭]

【回复】学大学的东西优先推荐外文的书，比较经典的像Alonzo Church的Introduction to Mathematical Logic，但说实话我们学也没照着书讲，我也没学过集合论，本身平时用也不需要学的太深
【回复】不太清楚你的数理逻辑学习情况，入门的话可以看一下赵希顺的《简明数理逻辑》，集合论和数理逻辑都有涉及，集合论部分讲到了序数和基数，数理逻辑讲到了哥德尔不完全定理和一点模型论，最好最全面的的集合论教科书应该是Thomas Jech的set theory。
【回复】可以看复旦逻辑与形而上学教科书系列，《数理逻辑 证明及其限度》《集合论 对无穷概念的探索》，此外徐明的《符号逻辑讲义》也不错，已经绝版了，不过网上有自己印的。
GinGingrich:
强呀，工作七八年之后又拿起了数学，在b站刷到了up的视频，听到up在抽象公理和模型解释这块的讲解真的是恍然大悟，这么多年从上学到自己最近重头自学还是头一次有人给我说的这么生动明白，感谢！

【回复】我32岁了，也进来听听，尽量学点数学，以后儿子问我数学不至于太尴尬。另外，感觉数学也可以作为一种娱乐消遣，比玩游戏省钱。
Luminous107:
@nichijou的涂山苏苏 请问大佬，有没有数学归纳法，数理逻辑，公理集合论还有欧式几何的中文教材（比如国外教材的翻译版）的推荐呢

【回复】归纳哪值得单独写书。。。话说数理逻辑本身就包含这些内容，我学的时候用的不是书，我老师提供的参考资料有胡适华，陆钟万的数理逻辑基础，王浩的数理逻辑通俗讲话，等，不过我自己也没翻过这些，我觉得最好还是看外文版的，本身外文数学也不难，比如Alonzo Church的Introduction to Mathematical logic
【回复】回复 @nichijou的涂山苏苏 :好鸭，感谢大佬~
SunflowerConPorb:
啊哈哈哈，我把课后题做出来啦！ （1）假设a有两个相反数b,c, 由相反数定义得a+b=0,a+c=0, 再由加法结合律得(a+b)+c=(a+c)+b, 再结合零元的性质得0+b=b,0+c=c, 所以b=c，说明a的相反数唯一 （2）验证略，零元是1，相反数是倒数

【回复】[微笑]请问在(2)中【相反数】a=0时怎么办？
【回复】回复 @fkvy_knyf :2中？2中规定了大于零啊
277dianpro:
感觉很多人学不懂数学的原因是教学的思维有问题？首先是数学工具化的数学教材，再就是僵死的演讲课程？没有丰富逻辑的数学课程再加上限制性的教学管理，导致很多人不管是课上和课下都思考不到数学。。。。

【回复】这认好，这对于我的高考很重要
2x2oYxQPbb:
1. 假设a有两个逆元b,c,且b≠c，设零元为e，运算为*，则有a*b=e 两边同时在左侧加上c有c*a*b=c*e 因为c为a的逆元，所以c*a=e 则e*b=c*e 则b=c 矛盾 所以逆元唯一 2. 群的封闭性：设a1,a2∈R+，则a1*a2∈R+ 结合律：(a1*a2)*a3=a1*(a2*a3) 零元：1，a1*1=a1 逆元：对任意a1∈R+，都存在a2=1/a1,使得a1*a2=1 (因为感兴趣自学过群论的屑高二)

书猫文理:
数学门外汉，喷子。觉得您对数学基础理解有误

书猫文理:
做数学，定义新数学（对世界不同的看法）是两种不同的天赋。

碎镜海:
这类硬核科普视频，日常收藏比点赞多 不过我可以投俩圆圆的东西缓解一下币少的麻烦[脱单doge] 每次看这种视频都有一种思维飘到一个更高的地方的感觉，这就是所谓“醍醐灌顶”吗？

jlslzl:
阳哥，有些好奇，既然数学的基础是逻辑，那么数学思想是否是逻辑本身所映射出来的一种产物，即思想的基石是逻辑框架（高中生，数学成绩不算很好，这个视频是自己在有兴趣的情况下才想看的，不知道自己这个问题是否算得上一个问题[脸红]）

【回复】我觉得只谈论数学的话，逻辑确实是基石，不过，呼吸是人类生命的基石之一，我们活着的时候又会时刻惦记着呼吸吗？
6xr6:
请问up《几何原本》构建了几何学基本理论框架，那数论有类似的公里共设吗

【回复】Peano公理构筑了算术的公理系统，不过现在欧几里得的理论已经被希尔伯特改进成了严格形式化的公理化几何理论
【回复】回复 @nichijou的涂山苏苏 :谢谢up解答
湉渁-歆子:
up讲的真有意思，甚至让我有大学选修数学的冲动

【回复】别冲动哈，万一挂了就不好了。