天涯隐学神贴：为什么网上会对0.9999999..的循环等于1产生疑问

我可是真ikun_:
一窍不通纯靠直觉：肯定不相等 有点数学基础：相等 深入学习数学后：不相等 顶级数学教授：相等 视频里这证明方法根本就不严谨，这个东西的严格证明是很复杂的，具体咋证讲道理我是不会的，但跟一北大同学聊起来，他们数学院教授讲解过该问题详细过程，中间我也没听懂，反正结果就是相等，但x.99循环这个数字本身没什么意义，但目前数学届又没有明确规定这玩意没意义，所以争议比较大

【回复】我只能这样跟你说，这种涉及到数学基本原理的，不可能用高中知识解出来
【回复】回复 @你的椰瓜瓜 :因为深入学习之后你会发现曾经对这个问题的理解都是不准确的，当然这话不是我说的，复述了一下其他大佬的话，因为我也不算“深入学习”，非数学专业的基本上都不算“深入”
【回复】？？？啥玩意就这么复杂，10进制小数是按照极限来定义，显然0.99...极限是1，所以相等，这不就没了吗。
给予管理员凸--凸:
明明是个数学问题，大家却被语文误导了。[doge] =这个符号在数学中是求解的含义，语文中是等于，引申为等同于，相同。 0.9999……=1这点毋庸置疑，不需要太复杂的证明，1/3*3=1这个算数很难理解吗？ 但是0.9999……和1是相同数吗？并不是！ 0.9999……并不是一个数字，而是一个数式，这个数式的解是1。 所以结论就是他们相等，但不同类。

【回复】补充几点 1:在数学逻辑中不存在两个不同但相等的数字，但可以存在无数解相等但不相同的算式。 2:无限代表未解完，所以无限小数不是数字，而是未解完的算式。 3:由以上逻辑能推倒出结论，在数学逻辑中不存在“无限”接近的两个数字，因为数字不能是“无限”。
【回复】宁愿相信一个数是另一个数，都不愿相信计算法则有漏洞[doge]
【回复】回复 @是最你的离开了一下 :宁愿相信是规则错误，甚至是把两个数当初一个数，也不愿相信是自己没反应过来[笑哭][笑哭][笑哭] 应该是约等啊，无限趋近但永远不会等同。 就像所谓的接触一样，有触觉感知到，但不可能真正接触到，无限微距下，永远会被一个力推开，保持一个距离
糖豆庄:
以对人有限的直觉推断不了无限的情况，所以数学要靠逻辑[吃瓜]

【回复】emmm有个实数的稠密性定理，a和b之间如果你找不出第三个实数c，那就证明a🟰b.
【回复】回复 @观蚌听海声 :所以说你不懂数学啊
【回复】回复 @观蚌听海声 :等你上过大学应该就懂了
HolyKaoBi:
你都把两个无限小数相减了，我还能说什么呢。

【回复】回复 @B站名字好难取 :第一条就错了，涉及无穷的不能运用四则运算。无限小数必须转化为分数才能加减乘除。
【回复】回复 @B站名字好难取 :小学解法循环谬误了，1/3=0.33的循环，这句话也要证明
【回复】回复 @B站名字好难取 :不要想当然
--阿撒托斯--:
这种算法的错误之处其实就和当年微积分的故事一样，一众大佬给的算∞方式各不相同且看起来都很对，但归根结底都把∞当做了一个具体实数去处理，∞是一个抽象概念，∞-∞也是如此，所以0.99…-0.99…是不能等于0的，是趋向于0，这样才能最后面得出x趋向于1

【回复】回复 @前三片叶草 :这样显得我高数学的内容很呆诶[微笑]我没记错的话，高阶无穷大除以低阶无穷大的结果是无穷大，不是什么1，不然我所有的无穷程式计算结果都写1不就完事啦？
【回复】?无穷大也分等阶和高阶，x*x ➖ x当x趋向无穷大，这结果是无穷大 因为前者趋向无穷大速度更快，属于高阶无穷大
【回复】无穷-无穷要看两个无穷的比较，如果是等价无穷小，比如x趋向无穷，那x-x，当x趋向无穷大，结果就是0，如果是同阶无穷大，或者高阶无穷大 比如2x，x平方，那剪完结果还是无穷大
zzsydlmey:
任何用数列推导0.999……＝1的方式都是不严谨的。任何不谈带戴德金分割就告诉你0.999……＝1的方法，你直接跳过就好，多看一眼就是在浪费时间

【回复】这个和戴德金分割也没关系，一般来说，0.9循环本身就不是一个数，而是一个极限式。你要把0.9循环看成一个具体的数，就要先定义延拓的方式。
【回复】是的[笑哭]这也是为什么中国人数学又差又好的原因
【回复】怎么就不严谨了？因为你学的戴德金分割体系，那柯西列的体系就不严谨？那还有学的无穷小数的体系，在这个情况下0.9循环都不是实数了，在你看来就都是错的？
御坂11736号:
一个说法是0.99999……是不合法的，我们可以约定不允许某位后面全是9（事实上，任意p进制展开，我们为了保证像的唯一性都不希望存在某一位之后全是p-1,而且我们总是能证明，一个实数能展开成不是这种形式的p进制形式，所以为了保证是一个映射，我们约定上述展开不合法），以保证每个实数的十进制展开唯一，或者也可以理解为，0.999……和1作为序列意义不同但是他们在实数域有相同的原像（by the way,这个时候就不是一个严格的映射了）

【回复】事实上我上初中以后写循环小数就会被判错了，循环小数的本质是分数，写循环小数就是没化简，本身就是不合法[doge]
【回复】回复 @一抹烟雨笑红尘 : 这个没什么太需要在意的，实数的构造主流有四种方法，楼主讲的是无穷小数法构造实数，这里的实数是一个映射，在这个意义下我们不得不承认小数后面有无限多个9的情况不是实数（正如楼主所说，否则这不是一个映射）。如果你采取戴德金分割or柯西列的方式去定义，那0.9循环就是实数，而且严格等于1.（这些方法各有好处，无穷小数就是比较直观，但是难以定义四则运算；柯西列需要等价关系和度量空间的概念，很现代的一个观点；戴德金分割定义的话，证明很多比较冗长啰嗦；公理法没看过不说了）
【回复】听不懂啊[捂脸]，离散？
理智过了头II:
9.99999…-0.99999…不等于9，无尽不能互减，能减就不是无尽了

【回复】两个绝对收敛的级数，可以每一项相加减，再由级数收敛定义得到结果。
【回复】回复 @萧箫蕭 :无限循环小数可以用级数表达，比如0.999...＝0.9*（0.1^0+0.1^1+0.1^2...），且是绝对收敛。
【回复】回复 @灬柯南梦一灬 :我数学渣 但是有个疑问 如果按照这个逻辑可以成立的话 那1是不是可以等于0.88 0.77 感觉可以等于任何数啊
御坂11736号:
这是我的numerical analysis老师写的讲义，你能清晰的看到为什么我们不需要0.9999……

【回复】不是哥们你来真的啊，牛逼
【回复】回复 @菜牲- :理解不了就别抱着你那错误观点了。
【回复】0.9只能等于0.9，1只能等于1，无论你出于什么样的运算，也弥补不到那一点数值上的gap。0.9=1只是一个逻辑诈骗，它先是让人发现了0.9=1这个数学漏洞，再让人去justify这种结果。你非要钻研下去，肯定这样的结果，我不知道基于此可以得到什么重大的科研发现。
菊豆688:
行了，以前还信下神贴，现在一点不信了

冒险家小蓝:
你自己最后结果都算出等于1了，不就跟假设矛盾了[呲牙]所以假设不成立，无限接近不是等于

【回复】回复 @逸笔丘陵 :视频中的算法其实没有问题，但有问题的地方是他忽略了一个前提条件。
【回复】回复 @逸笔丘陵 :而这正是高等数学中对所有有理数的定义。即所有有理数都是无法与该有理数区分开来的数集合。所以0.999就是等于1。也就是实数的稠密性秒了。
【回复】回复 @梦月的礼赞 :我印象里这个算法是有问题的，之前见过有个很有数学天分的孩子用同样的算法算出了一个悖论，可见这一算法应该违背了某些原理
林中之人甘若醴:
1/3=0.3333333333循环 0.33循环×3＝0.99循环 1/3×3=1

维新运动:
哎呀，怎么说呢？数学这个东西学到后面的确有反直觉的东西 但我感觉也没有你们说的这么邪门啊 不要在网上看一两个例子，就觉得怎么样了？自己去深入学习一下，B站上宋浩的高等数学就不错，你学完了之后你再去思考这些 对吧，你出去找技师你还知道找一个有经验的

【回复】回复 @奶盖铁驭 :网上讨论数学的有几个接受过严格数学训练的[笑哭]，大一上数学系学生其他的不说，最起码5个基本定理之间的互证得会吧，像是视频里面各种问题在接受数学训练的第一个月还没搞清楚就可以不用学数学系了。 之所以看起来混乱，不过是网民大多数以自己潜意识中定义的概念而非数学中严格定义过的概念解读问题罢了。
【回复】数学本来应该是严谨的，但是现在却给人一种“自己的说法解释不清楚，还糊弄人不敢承认”的感觉
【回复】哈哈哈哈，高等数学大学生都学不明白，稍微说一下极限就行了
qyxchjch:
民科的一大特点就是认为四则运算能解决所有数学问题

不名道德:
悖论在于9.9的无穷，减去0.9的无穷，它其实等于一个无穷

【回复】是嘞，这个算法是错误的
【回复】没有悖论，就严格等于9
【回复】回复 @春雨楼头尺八萧 :不严格，∞和∞不能直接加减，就比如∞+∞等于∞还是2∞，∞-∞等于∞还是0？这明显存在悖论。
下载哔哩只为学习:
我认为10倍的0.9…所得9.9…，其中9.9…的小数位比0.9…的小数位少一位。（我认为这种无限循环小数是人的时间有限没法算的而已，倘若人的时间也无限循环能解决问题，现在解决不了无限循环小数说明人不会无限循环，若有不同请指正）所以9x＝8.9…1，求得x＝0.9…

【回复】不存在8.9无限循环末位一这个数字。因为8.9无限循环不存在末位，自然也不会存在末位是一这个结果。你说的末位一本身就否认了8.99小数部分是无限循环的。
【回复】说白了，一旦涉及到无限低等数学就抓瞎了。
【回复】哪怕人的时间无限也不改变小数位数无限呀？一旦说到“尾数”的，那就是思维依旧局限在有限里
以轮回之名赐予汝死亡:
1+∞=2+∞ 所以1=2 同样的道理无穷数不适用于基础运算当时

食言者当受食炎之罚:
正经证明要用到实数完备性，其中一条是两个不相等的实数中间必然有跟他们都不相等的第三个实数，也就是实数具有稠密性。 假定0.999……跟1之间存在实数X，使得0.99……＜X＜1。 那么|1-X|就应该＜任何已知正数，也就是对任意Y＞0，满足|1-X|＜Y 则，0.99……与1之间不存在任何实数 所以0.99……＝1

【回复】你光用稠密性怎么可能解决，完备性≠稠密性。你这个证明里，如何证明1－X的绝对值<任意Y不成立?
【回复】1和0.9的循环之间找不到其他数了，所以这俩数是相等的。记实数a=1,b=0.9...，若a<b，则可以找到一个数(a+b)/2,在a与b之间，矛盾。同理可证a>b时，矛盾。故a=b