【数学杂谈】数学学习当中最核心的秘密是什么？

那个星尘:
就我个人而言，我是很讨厌这种一味的把数学这个东西当成是纯粹的智力游戏的看法的，诚然做出来大的问题是需要一定的天赋和运气的，但是数学这个东西和其他科学一样是吃经验的东西，工具的掌握，数学法则的运用这些都是非常吃经验的

【回复】回复 @答桑下企鹅问 :还是有前人的经验可以参考的。很多数学结果如果只看现代教材的话会惊叹数学家智慧之精妙，但是如果去看数学家原版的论文，以及后面如何一步步迭代最终变成现代教材里面的形式，就会发现一代代数学家都是站在前人的肩膀上前进的。
【回复】回复 @答桑下企鹅问 :普通人也能举一反三，只是数学这个科目信息壁垒高了，能突破这个壁垒的人大家都认为这是有数学天赋的。
【回复】没错，那些这样认为的人很少会有大成就大智慧[doge]
糊一脸懵逼:
讲得很实在，想起我当年高中的时光。 高一的时候数学学得很烂，除了f()代表函数、直接套公式之外，别的基本不懂了，考试第一大题题目都看不是很懂的程度。那一年很痛苦，每节课每份作业每道题都在想到底是怎么想到这个解法的。幸亏当时我给数学课代表补习英语，他给我补习数学。虽然一年下来我还是没怎么弄懂，但好歹死记硬背知道了很多题型的解法。 到了高一暑假，这时候我在书店找到了一本改变我命运的书《孙维刚高中数学》。这本书没有讲太多的题目和练习，而是重点讲解整个高中数学的知识脉络和数学思想。我如获至宝整个暑假都在研读，看完了虽然似懂非懂，但真的是一下子打开了思路，数形转换、极限思想、代数转换、反证法等等等等。然后加以练习，发现很多以前看不懂不会解的题我都会了。到了高二开学，我的数学从及格一下子蹦到了全班第一，跟第二名还拉开十多二十分的差距。 我自认为不是个聪明人，数学还是不能跟那些常年130、140+的人比，但能稳定在130上下就足够我拉分了。所以我坚信中学数学没什么特别难的，只是老师不会教、或者学生练习得不够多而已。很多时候就需要那么一下的点拨，思路打开后一切就会豁然开朗。所以我非常认同这个视频的观点，最重要的是思路，一定要透过答案、公式、定理去看到背后的想法，多想想数学家是怎么想到这玩意儿的，别的同学为啥他能想得到我就没思路。只有这样才能在做题的过程中稳步提升。

【回复】补充一个例子，高中最让我记忆深刻的一次考试不是历史最高分的那次，而是有次考试是我第一次最后一道大题用了跟标准答案不一样的解法还答对了，甚至考试后我连标准答案都没怎么看懂[笑哭]那次我用了数形结合、转化思想、反证法，把一个代数问题转化为了一条直线穿过一个圆的几何问题，最后通过反证证明了题目中的结论的逆命题是不成立的，也就说明题目是成立的。老师都给看懵了但确实证明没有一点瑕疵[doge]
【回复】回复 @糊一脸懵逼 : 很多人发现数学的乐趣就是从给出非标准的解答开始的，因为从这个时候开始认识到，解数学问题实际上是写自己的理解，以及创作一些内容，就像写小说一样，需要有自己的一些idea.
【回复】回复 @糊一脸懵逼 :独立于答案的证明过程恰好是对自己数学思维能力的最好肯定…兴趣自然也会油然而生吧
雨下孤竹:
讲得好，为什么我们的教科书不去尝试教会这些形式背后的原则和想法呢

【回复】不是我们，是所有的教科书几乎都不会讲这个。因为这个东西的讲述有诸多困难。
【回复】第一个问题就是，因为想法是灵活的。我们经常常见的是，一个想法横贯好几个学科，这就完全不适合放在教材里面讲述，因为会严重偏离主题。因此一般来说这些想法会在习题课，或者讨论班里面讨论。
【回复】这种东西就算写出来，也需要学习的人花功夫才能体会到。个人认为这就是读研读博期间有个好导师的好处，他能告诉你这些心法，这就是为什么有些人认为june huh 能有质的飞跃是因为广中平佑手把手带了他几年
Schorekl:
之前看了一个数学phd的帖子解释为什么某些证明往往让人摸不到头脑，不知道思路的来源。他的说法是，这类证明通常来自于对某个细分领域或者某些数学背景的深刻理解，没有接触过的人看起来就会觉得很奇怪。

【回复】不知道思路来源就是因为证明里没写，就像没有注释甚至加了混淆的代码。
【回复】在哪些／类的书籍中能找到这类思路起源／来源，谢谢
伊梅莉娅夜港:
你会相信我学数学最获益匪浅的一句话是高中语文老师教的吗？那句话是——【知识永会遗忘，思想与身俱在。】本科时的多元统计课老师也有一句类似的教导（背景是学院让他开一门``统计思想''课，他跟我们吐槽）“统计思想这东西怎么可能靠开一门课来教嘛，这是你十几年数据分析中不断去体悟、潜移默化地学到的，不是老师通过口述能教给你的。”

【回复】学习就是这样一个"逆过程”，把从实践中得来的精华直接喂给你，而这些精华的东西往往都是很抽象的，对于初学者而言不可能一下全部参透里面的玄机，所以才要学以致用，孔子两千年前就从他的实践中把握住了这里面的“道"：学而不思则罔，思而不学则殆[doge]
【回复】回复 @微小的沙土 :老师教的好能加快理解进程，但是人的认识总是螺旋上升的，不可能一下子就非常通透，必须要经过反复认识和实践的过程[doge]
【回复】回复 @aoligei6666 :我感觉是教的不行！厉害的老师就是直接喂给你，让你不再觉得抽象
纳西妲酱:
在高中阶段，我觉得（我当时高考145，应该有资格嗦嗦）数学成绩不上不下的人很多都有一个毛病，就是学习太功利了。 认为钻研这个浪费时间，认为高考不考就不去学，认为自己不会就算高考考也放掉 这样子不会学好数学，学的顶尖的没一个功利的 为什么有些人不听课数学照样140？这就涉及到我认为的“数学素养”的问题 有的人天生喜欢数学，所以人家在不知不觉间积累了很多“没用”的数学知识，不知不觉钻研了很多看起来没用的数学问题。但正是这些没用的数学知识和数学问题，却构建了通往数学高分的天桥。 遇到难题，他知道怎么去想，他知道他要干什么，而这些就是长久钻研数学问题潜移默化形成的数学思维。 遇到难题，他能看破题目的本质，调用自己的知识库，最后一气呵成，下笔成章，这些就是积累看起来没用的数学知识所构建的完整的数学体系带来的效果，尽管他们本人从未察觉。 更有甚者，考试题目中人家都能看出来来源，知道他来自哪个高观点或者看破这道数学题的出题人的思路历程，恨不得数学出题人换个裤衩他都知道 所以人家才会是数学大佬 而很多人觉得浪费时间就不去钻研，觉得高考不考就不去看一眼，最后你的分儿也随着你的自我安慰，没了 有人说，学习功利点不好吗？我只能说如果你做事只为了功利的话，你办不好事儿的 也有人说，我脑子不灵光，而你脑子好，那我能说啥，你自己都觉得自己不行了你还能做好啊？

W平方J:
做数学和做饭有类似的地方，既要积累经验，也要灵光一现[呲牙]

【回复】[doge]灵光乍现！一秒大师
Retitop_4:
牛逼，高中就开始想这个问题了，但一直苦于找不到语言叙述，以前脑中的模糊概念就这么被up逻辑清晰地说出来了[打call]

bilii--98yw84706:
可工作记忆容量是天生的，后天很难进步了，而工作记忆容量又和推理能力、智商成强正相关，也和后天的成就有紧密联系。当然确实也能用其它方法弥补一部分

【回复】第一句的观点中，工作记忆和智商强相关，我有点疑问，至少不是决定性的。因为up主的话，智商还算高>130,但是工作记忆有一些问题，足以造成困扰的程度。为此我开发了一些方法解决了这个问题： 1. 封装：这有点类似于编程语言里面节约内存的想法，调用对象的指针而不是对象本身。比如我要思考一个和式，我不可能再脑海中考虑它的细节，而是总之一个和，然后它做一些处理，直到我们真的需要直到和里面的细节的时候才会展开来（而且这部分也会单独处理，以节约工作记忆）。 2. 模块化：一些经典的思维的操作会被封装成固定的模块，这样考虑问题的时候，调用常用经典模块的时候，不会占工作记忆容量。 3. 学会编程：大量计算任务，可视化任务都用计算机代替处理。 4. 写作+联想：因为联想能力天生较强，因此把细节存储在笔记上，强化内容之间的关系而非细节，这样只需要记忆多个对象之间的联系然后结合笔记就可以完成复杂的调用。
【回复】回复 @PiKaChu345 :请问智商测试题是怎么把“智商”量化出来的
【回复】回复 @内塔尼亚湖人队 : 人们总是说智商是天生的，后天不可改变，那也就是说，智商测试的结果如果真的可靠的话，必须要能够做到不论几岁的人，只要没有硬性疾病，能够进行测试，测出来的结果就都一样或者误差很小。但这似乎是不可能的，智商测试一般都有年龄限制。
Enmaani:
谢谢up主的耐心讲解。作为一个从小觉得自己没有数学天赋，因此对数学不怎么感兴趣，但是长大之后反而开始对数学感兴趣的人，这个视频给我自学数学增加了一些信心。我想问一下，根据视频中的观点，up主是否觉得理解尽可能多的“想法”（或者说前人总结出的数学定理）对于学习数学的帮助是最大（或者说起到决定性作用）的？以及up主是怎样看待如佩雷尔曼，拉马努金这样的“天才”数学家呢？他们是否也符合视频里的这一定律？（并非刻意对比，只是想交流想法）

【回复】光看定理你可能没法找到这些关键的想法，这些东西回出现在证明以及具体问题的解答当中。学习数学的时候，重点在别人关于问题的解决方案，以及证明当中。 我知道一些窍门，但是这并不算是科学真理，因为我没有做过相关试验，以下经验只在我身上被验证是有效的。 证明或者问题的解答当中蕴含解决问题的一般方法，思路，技巧。但是这些东西隐藏在其中。挖掘这些东西的一个一些窍门是： 1. 【抽象】：比如当你读到某个log(n+1)-log(n)的某种积分放缩的时候，我们当然不能仅仅认为这是针对log独有的放缩，我们肯定要去抽象，这是否能对任意光滑的函数f(x)都成立？进而结合当前的解答思考，这样的放缩的目的是什么，好处是什么，有没有什么缺点或者局限性？ 2. 【联想】：通常不会一次抽象就得到最终我们想要的那个想法，或者原则，以及策略。通常我们需要对这些东西有一些印象，然后对足够多的解答和证明执行【抽象】的过程，这时候我们偶尔就能遇到【碰撞】。也就是说，我们在某一次对某个解答或者证明进行抽象的时候，突然发现，好像这种东西我们之前就遇到过类似的，有关的。那么把之前的抽象的结果和现在的抽象的结果做对比，以及归纳在一起，就会得到更好的东西。 3. 【写作】：人类的联想能力，记忆力都是有限的。这里也很能体现天赋了，天赋很强的人联想能力强大，不过天赋弱的人其实也没差哪里去了，只要借助工具就可以了。比如一本电子笔记本，把以前的抽象的结果，结合上下文保存起来，之后如果有印象可以通过关键词检索来调用。这就是写作的好处，弥补大脑的先天不足。 4. 【做问题】：一个基本的经验是，通过在别人哪里抽象封装来的想法在没有经过自己亲自在某个意外的问题当中实现的时候，这个想法还远远达不到完善的地步。所以这些想法要在实际的问题中试验，然后根据反馈修正想法，改进想法，想法才能真正成型。
【回复】回复 @PiKaChu345 : 当然以上这一套东西能体现天赋吗？当然能，这里面哪一个步骤不需要天赋？ 【抽象】的过程，有的人需要10个相关的问题才能抽象出一条想法的雏形，而有的人两个问题就够了。再比如联想，有的人根本无法把两个看似不相关的对象结合在一起，但是有的人就可以。作问题也是，不是每个人都能把封装好的想法在没有任何准备的情况下，在某个陌生的问题中实现出来。 但是我的经验是，都可以练，做的多了就越来越会。
【回复】回复 @PiKaChu345 :谢谢up写了这么多，对我帮助很大！祝up在未来的学习探索道路上走得更远，共勉
犹记灬骚年丿:
首先震惊于自己能平心静气看完一段关于数学学习的科普视频，其次非常感谢Up🐖能用真诚严谨的态度和通俗易懂的表述告知我们如何正确认知数学学习对于个人和社会的价值【润物无声间连看了下个视频“没有人在乎你知道多少数学知识”】，对比昨天看完的数学编年史（一头雾水一脸懵逼）和某清华博士在美传回的“数理科普”（意林式开头即劝退），Up这种没有高知姿态，只是很亲和地将数学学者对数学教育和发展的观点和个人对于数学学习的经验分享给我们这种应试学渣理论小白，这样的视频内容看得真的很舒服，也真的很难得！

billbil1用户74119:
[doge]智力是属性数值，工具是游戏机制，经验是游戏手法。就算是土豪的数值，还得遵守游戏机制，游戏手法可以让刷图更优雅。

【回复】回复 @billbil1用户74119 :其实相对于很多其他智力活动，数学比较像魂类游戏，埃尔登法环这种。数值高可以提高容错率，但绝对不是无敌，策略，经验，技巧占比真的很大。
aoligei6666:
其实任何领域都是这样的，而这样的领悟也不是一蹴而就的，主要靠的是"高人"的点拨，自己的内化和深耕，随着经验的积累和视野的丰富领悟的能力会越来越强，还有就是自己从各种事情上（不只是数学）历练出的洞悉本质的能力，所以缺少时间的沉淀不可能成为大牛，而且这些积累对提出新idea也有很大的帮助，毕竟推陈才能出新[doge]

【回复】我就知道，找个牛人点拨一通起码能省几个月时间
xyjredfeather:
但是掌握的原则，策略和工具和绝对智力也不是独立的吧。如果绝对智力不够，这些东西都要靠别人来告诉你，那也会举步维艰。所以智慧可以近似认为关于绝对智商的一元函数。[doge]我曾认为数学和绝对智力关系很大，然后又到了和up差不多的看法，现在我的看法又回去了。

【回复】回复 @大海污靓 :大家就没有在生活中，游戏里，或者其他地方领悟过一些“小妙招”或者“原则”吗？ 比如UP主打PUBG，就意识到，在大地图里面，以及室内，以及最后决赛圈不同场景下，应该有两套枪。一个用于远距离的狙击类武器，一个近距离的近战类武器。这就是PUBG的基本原则。我的观点是任何正常人都有这种领悟力，只不过有的人把数学神秘化了。
【回复】按照up主的说法这些所谓核心想法不也需要自己悟吗，没告诉我可以通过技巧帮助自己悟
太冷大冷天:
非常对，数学应该是普及于大众化的，而数学研究的能力的察觉与培养的渠道除了高等教育之外也应该有accessible的方式供人反思进步。点赞。

牛蹄菌:
看完了，云里雾里的。算了，不强求自己。pika记得健身[脱单doge]

颜之名:
也就是，可以出一本总结原则的书，没准大卖！而这种解决问题的原则，可以去运用到其他领域。

【回复】回复 @想和妹子玩 :☺️
【回复】回复 @梦老师今天想什么姿势 :😅
【回复】回复 @GH打不过你 :易经[喜欢]
图灵与他的Mahine:
所以一般而言要经历专门的数学训练→ 掌握先进的数学工具形→成深刻的数学背景， 不过我还是很好奇，像佩雷尔曼 拉格努金这类人，是怎么能敏锐的触碰到抽象事物的本质的，这让我常常想，他们的思想意识形态存在的样貌，就是数学本身

疯狂爱你的喀尔刻:
我现在似乎也有类似的感受，在读书的时候感觉到这本书在讲做科研的方法和思路，先从简单的开始，将简单的东西叠加得到跟高级的定理，中间需要的是对概念深刻的认识和一定技巧，而这些技巧是具有普适性的，必须要掌握，当明白一些定理证明的思路后，会发现整个证明是自然而然就出来了。