【数学杂谈】如何记数学笔记

PiKaChu345:
【13：42】数学笔记三原则之一：只记录自己的理解和总结，不抄任何书，概念，定理和答案。(费曼学习法) 这部分用Gursat定理作为示例(不理解或没兴趣也没有关系，可以替换为任何你喜欢的定理，主要是理解想法) 【22：51】数学笔记三原则之二：定期复习自己的笔记，通过复习找到关联性！这部分用Littlewood-Tauberian定理和傅里叶级数收敛的关系作为例子(可自行替换为你喜欢的定理做理解)。

Tilal:
这种数学笔记卡片就像外存一样的，定时拿脑子里跑一跑，方便修改确实很重要，理想的笔记系统应该就是记忆的拓展，得像大脑一样具有不断优化剪枝的功能，几年来我也有构建这种系统的想法，不仅为了学习，更是想在奔流不息的单向时间里留下一些"自己来过"的锚点，好有些安心的感觉，很多时候感觉大脑只是在空转，就像up说的逻辑检验器一样过一些逻辑和想法，留下的非常少，这种感觉让我不安。

【回复】anki的笔记和复习，还可以提升联想的能力。 最近做一些题目的时候，发现有些题目和某一个笔记有关系，但是记忆力有限不能100%回忆所有细节。 利用anki的搜索功能，确认这种联系，一旦真的解决新的问题就能在大脑中建立新的连接。
【回复】是的。以前把笔记做的工工整整，但实际用起来毫无卵用，因为我已经把精力都投射到那个纸上了，此时脑子是空的，后期也不想在看这本笔记，看也是空脑对空洞的符号。 真正的笔记应当是思维路径的一个存档，给思维一个锚点，最好是以问题的形式存储。有时候正确提出一个问题比解决它更重要，因为如果这个问题可解的话，在把这个疑问从潜意识里的意象和无法用语言表述的东西结构成语言的时候，实际上就已经完成了数学工具对它的分析和拆解，这样一来，在提问题的过程中问题就已经被解决的七七八八的了。
【回复】回复 @一只达令 :卡片上方有一个公式编辑的按钮，在弹出的对话框里面输入latex公式，不带$$. 如果直接在文本当中使用\(公式\)渲染的时候也可以变成公式\【这是居中显示的公式\】
cugamiya:
up的内容很有启发，请问up会有感到，做这么详细的笔记会很费时间吗，那么怎么进行记笔记和理解笔记的平衡呢，在复习过程中，如果一直添加，不是要消耗更多时间吗，那么原本今天要做的事情就进行不了了感觉，可以请up分享一下自己使用的体验和感受吗

【回复】1.一开始让卡片尽善尽美的想法其实有悖于【原则3】。 这些卡片本身就不是一天一次能完成的，应该是随着不断地理解，不断地思考逐步完善的。 2.确实会花时间，但是不是一次性完成的，做多了以后速度会比较快。做的过程会思考，会考虑或者计算一些细节，我认为这也是必要的练习的一部分。不会有今天做不了事情的感觉，因为注意到笔记的【原则1】，所有笔记都是我们自己的感悟，感想，理解。我认为一个正常人，是不可能每天源源不断产生自己对数学的新认识，新想法，和新联系的。你会逐渐适应一边看书一边做笔记，如果看一本书，随时都有写不完的个人理解，几乎不可能。逐渐会适应一边学习一边写笔记的节奏的，其实大多数时候新的笔记的产生反而不是看书的时候，是做练习，以及复习的时候。学新东西，一般没什么感悟，一边学一边不断顿悟的人，太可怕了。
【回复】回复 @cugamiya : 要注意【原则1】，只写自己的理解，感悟，和发现的联系。不抄任何东西。
【回复】回复 @PiKaChu345 :感谢up细致的分享[tv_微笑]视频和回复很有帮助，我想用来学物理专业课，以及用来读论文，感觉应该符合我想要的效果[tv_抓狂]
-静-水-:
高中生路过，我是两本笔记本，一本『学习与思考』，会涉及到少量的延伸学习内容，和多量的延伸思考（如平时不经意间一些比较好的想法和对应的模型与计算，还有一些具有普遍性的基础推论，基础模型），另一本『应试技巧』摘录了平时上课学到的答题套路（比如一种题型的最简解法），平时的一些易错题，真题，模拟题等等

【回复】回复 @微观之星 :依我之见，整理概念和公式用处不是很大。 其实可以转变思路，如果想要整理概念，不妨用例子替代概念定义之类的。用一个或者几个恰当的例子来体现某个概念的含义。 亦或是用一些问题替代公式的推导，或者重点阐述公式推导当中的动机，以及使用的策略之类的。
【回复】我想问一下就是，我记笔记的很多，差不多就是书本上的一些概念整理，还有一些公式推导，但是我看完他之后，过很长段时间来看这些公式推导我可能就会感到很杂乱，而且看不懂[笑哭]，是不是因为长时间没有看遗忘了，还是我记的笔记自己看起来还是后陌生啊
【回复】回复 @微观之星 :不会吧，数学的过程是逻辑的过程，按道理来说，只要过程详尽，无论什么时候看都能看得懂，你是不是太久太久没看了，连之前的数学基础都忘记了，数学很多东西是连贯的，前面忘了后面自然看不懂，如果是的话建议把前面的基础，特别是容易忘的部分也写进去，以后再看也可以把
晨骄六百分:
UP你好 感谢你的视频分享 我之前看其他学习类UP提到数学学习还需要应用到Google sheet，以一个生活日常为例，用洗衣机洗衣服需要若干步骤，开机-放衣服-加洗衣粉…用费曼学习法，是一个讲故事的过程、回忆和推导信息链。这一类流程性信息似乎不是很适合在Anki上复习，想请你以后分享一些这个板块的学习经验。

【回复】我倒是没有觉得不适合。 anki卡片正面你可以设计为问题，比如如何由A得到B，C和D之间有什么关联性。以及某个条件在某个问题中发挥了怎样的作用，如果去掉这个条件是否就可以存在一个反例。然后卡片的背面写上自己的回答以及对这个东西的理解。当复习到卡片的时候，首先只会展示正面，这个时候你就可以思考一下，甚至在草稿纸上算一些，推导一下一些细节，然后再看后面自己以前写的内容，这样就会形成深刻的印象，而且很多时候你还会产生更多的理解，如果发现有些地方无法理解，可以去找更多的资料阅读更多的材料从而把这个问题回答的更好，根据【数学笔记原则3】又可以把这张卡的背面写的更具体更清晰。
【回复】回复 @PiKaChu345 :感谢UP详尽的回复。你说的有一点我非常赞同 就是卡片内容不能照搬 而是要记自己的认识和理解。视频已三连 继续关注你[兔年]
【回复】回复 @iAoyu : 感谢分享。我粗浅的理解是：先把自己需要用Anki来复习的理科内容做一个分类---需要刻意训练、强化记忆的知识点（偏重间隔训练）以及 需要刻意去回顾策略、回顾自己理科理解的知识点（偏向复习闹钟提醒）。在第二个板块，按照UP主的笔记三原则去填充和更新自己理解出来的产物。但是碰到自己模糊的知识盲区，把它放到第一个板块刻意训练专区里去做。
账号已注销:
up，请问如果不抄任何定理，概念和习题解答的话，感觉笔记无从下手，记不下来啥东西怎么办？总而言之就是言之无物，下笔困难的症状很是无解[笑哭]

【回复】那么说明除了抄书上的内容，自己就没有任何自己的想法和见解，这可不行啊。但是我可以给你提供一个这种情况下的思路: 1.用例子 + 反例替代概念的定义和叙述 这样做的好处是，第一找反例或者例子的时候可以加深对概念的理解。同时以后记住这些例子也有助于记住这些例子的一些细节。 2. 抄习题解答但又不是完全抄习题解答的办法：总结几个类似的题目的通用解决办法和通用解决策略/技巧。 这样就不要抄解答，而是提取这一类问题的解答当中的共同部分，从而有助于你以后复习笔记的时候顿悟出来这一类问题的通用解决思路。 希望这两点可以帮助你下手开始写自己的笔记而不是抄书上的内容。
【回复】回复 @沉心拂絮 :你可以找一个或者几个该知识点的例题，然后抄或者解出答案，在审题和解题的每一步写上是如何审题的解题的。你是抓住了哪些题目信息，到底考核什么知识点是一个还是多个，解题的每个步骤需要用到什么知识点，要用到什么变化，有没有更快解法等等。 你可以初期不知道如何精简那就能想到的都记上去，后面你肯定会慢慢摸出门道只记录部分最有用信息的。 因为我们学习是一个模仿的过程，模仿一类题解题思路，模仿知识是如何运算的。也就是说你没必要死磕硬解题，这不是考试，你也没到复习的地步。 既然如此你就找答案详细到每一步的例题，然后去钻研每一步是怎么来的，用几种类型变体来出这种知识点的题。当你弄清楚这道题我怎么解了，你其实就掌握了这个知识点。之后遇上其他变体的题不认识，那是你没收集齐全，添加到该知识点相同类型题目的合集里面就是了
PiKaChu345:
【27：22】数学笔记三原则之三：复习笔记的过程中优化过去的笔记！ 因为我们按照原则1只记录自己的理解，自己的理解初学时未免肤浅。但是由于原则2，我们会不断学习和不断复习，那么我们对这个主题的理解会与日俱增，因此笔记是活的，是可以不断优化的!一开始的种子会逐渐长大成为大树。这一部分的例子是，傅里叶级数收敛的各种情况。从一开始的不了解，简短的笔记，逐渐涵盖了这个主题各种各样收敛的情况的总结。

PiKaChu345:
【00：00】本期视频主要内容的概览 【02：28】好的数学笔记应该给我们带来哪些好处？ 【06：36】Anki笔记的重要功能，举两个例子作为示例。

商飞制造部:
教学书上有基础知识，题 上课自己记重点和自己理解

带电小木块Zzz:
up说的挺好的，其实我感觉我们现在所做的学习的过程就是翻译，把课本上晦涩难懂的话翻译成自己脑中原有的认知结构能够接受的话，up说的原则一记下自己的理解，我想就是把那些定理概念翻译成人话。但是回顾一下过去的学习，国内很多教材都编写的晦涩难懂，我们在“翻译”这件事情上花了大量的时间，为什么不能在编写的时候就尽量做到说”人话“呢？我们不更应该把主要精力放在梳理逻辑关系，深入去探究和创新上面吗？

【回复】有时候教材需要保证严谨，但是严谨的表述并不一定便于理解
【回复】那就买国外教材看看吧[吃瓜]
PirxTion:
up你好，感谢你的分享！我想用您的方法来学习计算机知识，但是我想问两个细节的问题：1. 您觉得学习新内容和做卡片的过程是分开好还是同时进行好呢？比如是在看书学习时一边学新的内容一边制作卡片的呢？还是学完一个章节后把这个章节中有价值的内容和感悟做成卡片呢？ 2. 我之前使用anki比较习惯将卡片原子化，就是卡片的正面最好只有一个问题，而且卡片的背面也尽量短一些。我觉得按照您的方法一张卡片上的信息量会不可避免的变大，这样在复习的时候感觉会造成很多不便，比如因为其中某一个子问题没想清楚点了困难，导致整张卡片接下来几天会出现好多次，而且每次出现都需要花费比较多的时间来推导/回忆。以及因为卡片的信息量变大了，比较难将卡片背面的感悟和联系比较完整的回忆起来，在卡片正面补充更多问题进行引导可能是一种解决办法，请问您是如何解决这个问题的呢？

【回复】回复 @PirxTion :1，我习惯于一边学一边写，但是缺点是有可能会打乱放慢学习的节奏。优点是有想法了可以立即写下来，并且写的过程中还可以扫清一些学习的时候没有思考清楚的问题，方便接下来学下去不会有误解。其中优势劣势可以执行权衡一下。 2.我认为没有必要强制要求自己每天必须要复习完成所有计划当中的卡片，只要每天抽出固定时间认真复习就行。因为你提出的这个问题我也遇到了。从学习心理学的角度出发，我认为不能很好的回答一个卡片或者反复出现一个卡片的本质是因为这个问题还有我们不知道的信息，还有没有理解的部分。那么我认为就应该对卡片进行补充，修改，重塑。为此多花费一些时间导致不能复习完成卡片的复习安排我认为倒也是值得的。 倒也有一些技巧可以帮助节约时间，就是问问题要问到重点上。比如某个定理的证明，推导或者理解，我只问这个东西里面的关键步骤是什么，为什么这个步骤关键，整个证明的核心想法是什么。就是说避开重复练习，重复回忆一些细枝末节可以自己逻辑自动推理出来的内容，只问关键，哪些不平凡的步骤。以及整个东西的整体的想法。
【回复】回复 @PirxTion :supermemo我知道，感觉差不多。你可以都试试，软件并不是本质，使用的原则才是本质
【回复】回复 @PiKaChu345 :我还有点疑问，就是我看到你的一个卡片有几个问题，所以你在给anki评分是如何评分的？
bili_24191195616:
讲得很好,我打算在同调代数上实践一下,但是我觉得还是要多交流,要是全记的都是自己的理解,有一半是错的都正常,我觉得这也是为什么up强调了要不断复习提高自己笔记的深刻程度

【回复】依我的经验基本上突然复习到一年前的笔记，好多时候还是会发现一些错误或者写的很肤浅的内容。 还有交流确实很重要，一些自以为是的证明可能会包含错误。 把自己写的一些证明放入到anki笔记里面也有助于消除错误，多次复习到的时候，如果有一些感觉怪异地方，多半可能有错。
白墨_11037:
Anki真的是我见过的最完美的笔记软件，既可以作为笔记，也可以作为记忆卡复习[doge]

【回复】回复 @封印jh :可以插入公式呀[doge]或者把常用的公式加入输入法快捷短语
【回复】就是Anki用不明白感觉好复杂[笑哭]
jy0x0:
obsidian 中用双链来建立关联，anki 有什么工具来建立两条笔记之间的关联呢？

【回复】比较原始，但是我觉得很有效。 我的方法就是当我们发现两个东西有关联的时候，最好自己动手写出这种关联性，因为数学需要推导嘛，自己推导这种关联性，或者自己举出一些能代表这种关联性的例子，然后把这些内容变成新的卡片。所以最关键的是，这种关联性在脑子里，而不在于知道关联性的存在性，还要能描绘出具体如何关联的细节。
Node_Sans:
之前用 anki 复习卷子上的生词感觉效果挺好。[脱单doge] 下次试试用来记忆数学

【回复】再参考参考【数学笔记三原则】，数学不是用来记忆的，anki用来辅助增进理解。毕竟数学anki和语言类anki还是有本质的不同
【回复】回复 @PiKaChu345 :谢谢大佬
爱看动漫的小飞同学:
喜欢手写笔记不喜欢用电子设备记笔记的可以参考吗[难过] 想起自己去年写的高数（工科）笔记了（当时杂七杂八的标注了一堆数分的内容）

【回复】可以啊。但是我感觉纸笔记的缺点还是很明显 一个是可扩展性不太好，如果要弥补最好是不要记满整页，或者是做成活页的可以插入新的东西的形式。 第二个缺陷是不太好搜索，当然可以增加小标签，这样方便查阅。可是关键词检索还是很难做到。 其他的倒没有什么，定期复习也可以和电子笔记差不多的效果。
羽立丶丶:
anki记笔记不能像其他latex编译器一样，用$$打公式，这种情况up是怎么解决的？

【回复】anki里面是\(\)相当于$$ 然后\【\】相当于$$$$
【回复】回复 @PiKaChu345 :懂了！！感谢！