【官方双语】微积分的本质 - 03 - 用几何来求导

小猫软糖啾咪:
我知道为什么老师说数学美了。知道了推论的过程真的觉得特别奇妙 醍醐灌顶的快感。 我知道为什么我们不觉得数学美了。我们是在背数学，不是在学数学啊。 这个求导的方法，作者用了一集来教我们，可我记得我们是用五分钟记下结论就够了。

【回复】你这么喜欢，你可以买本无言的宇宙和数学之美两本书，很不错的
【回复】回复 @芥时 :从一到无穷大
【回复】回复 @zbrf :啊啊啊相隔数年再来回顾视频 同吹爆这两本书!!!
soloyuyang:
对于1/x导数的几何意义的个人理解：12分钟左右的那个图，因为面积保持1不变，所以红色和绿色的面积应该相等，且对于>0的dx来说的d(1/x)是负的，有两个长矩形面积相等可知：x*d(1/x)=-(1/x)*dx（此时需要考虑dx很小时，绿色的高近似1/x）。有因为d(1/x)就是d(f),所以上面的等式化简的d(f)/dx=-(1/x^2)

【回复】回复 @myIDearest_莫奈 :面积确实不能为负，但是d(1/x)是负值，所以红色面积应为-x*d(1/x) 绿色面积准确表示应为dx*(1/(x+dx))，由绿=红可得 d(1/x)=dx/(-x*(x+dx)) 最后d(1/x)/dx为1/(-x*(x+dx)) 那么很明显，当dx趋向于0时上式结果为-1/x^2
【回复】我觉得不太对啊，首先面积不存在负值，dx足够小也不等于1/x[小电视_困惑]
【回复】请问为什么绿色的面积是dx*1/x? 1/x不是变化前的高吗？？
云儿云儿云:
关注了up后，感觉自己的B 站都和别人的不一样了，因为我是用来学习的～(￣▽￣～)

【回复】av11311943里面都是学霸系列的
【回复】同感同感，我爱学习，学习让生活美好
Sak1i:
幂函数x^2求微时被省略的小正方形事实上是dx的高阶无穷小：把它和另外两个长的增量矩形的面积做比较，有lim(dx->0)(dx^2/2xdx)=0.这即是说，当求微时，小正方形的增量已经不计入导数值，因为它已经经过了两次无穷小变化.

アンダーヴィター:
如果你们通过视频中的那个图得出cosθ求导为sinθ的话，只能说你们考虑错方向了，dcosθ是一个小的增量，然而视频中随着θ的增大，cosθ是减小的，所以你们算的其实是d(-cosθ)=sinθ

【回复】那会。。我得出的还是-sinθ。。
量子咸鱼K:
和差化积确实可以写出来不假，但是别人在从另一个角度讨论这个问题，能暂时放下代数观点，好好考虑一下这个问题好吗，又不是不会，别秀了行不？

【回复】(=・ω・=)关闭弹幕欣赏，保持自己的思维体系是十分重要的一点
伦纳德阳:
想了十分钟才想明白根号那个的导数推法。。。把x视作面积，dx就是面积的变化，所以 2√￣x*d√￣x=dx，整理一下就是根号的导数推法，应该没错吧

【回复】回复 @馒头臻 :四次方根就不是面积了，平方根参照面积，立方根参照体积，n次方根就表现n次积
【回复】回复 @营养胶粥 : 4年后，我又犯了同样愚蠢的错误[辣眼睛]
【回复】烦恼啊 我把二次方根当成面积 四次方根当边 推不出
单极磁感线:
这个应该发到番剧区，便于补番。。。

一个正常的昵称称:
交作业，思路参考了soloyuyang的回答，谢谢soloyuyang大佬 问题是：长方形面积保持1不变的情况下，宽每增加dx的情况下，高的变化df是多少。 则df=d（1/x）.因为面积为1不变，则两块矩形面积相等。即dx*(1/x)=d(1/x)*x,代入df，则dx*(1/x)=df*x,解得df/dx=1/x2,因为每宽度增加dx，高度就需要减少相应的d(1/x),所以df为负数，换算得df/dx=-1/x2. 之前看视频一直用df代指面积的变化，结果碰到这道面积已知的情况下，突然懵逼了，df应该是代指要求得的变化数

【回复】我觉得这样思考，会更底层一些，对于这个问题，最直观的等量关系是A1=A2，也就是减少的面积等于增加的面积，展开一下“x*h1=1/x*h2”，其中h1=1/x（变化前）-1/x（变化后），h2=x(变化后）-x（变化前）；对于d变量=变换后-变化前，所以最后才可推出“x*(-d(1/x))=1/x*dx”，化简之后就是结果。 你的其中有个不甚合适的地方就是“dx*(1/x)=d(1/x)*x”，没有解释清楚“-”如何加入，或者可以说，你写的这个等量关系，是不成立的，因为你模糊了d变量的定义
【回复】df不一定是一直指代面积，原函数是y=1/x，dy表示的就是y坐标的细微变化。此时的1/x并不是某一个图形的面积。而视频前半段给的y=x²，或者y=x³这样的函数表达式，才能看成几何图形的面积或体积。因此这种dy才是面积或体积的变化。其实还是看y到底代表的是什么，那dy就表示这一因变量的细微变化。
刚上初一萌萌哒:
(｀・ω・´)我会求简单的导完全是因为上次乱玩计算器然后找出了规律。。。(ax^b)' = abx^(b-1)

【回复】这就是</B>天才</B>吗qwq
【回复】回复 @童小源a :我是<b>菜鸡</b>QWQ
轻工霍格小站:
up如果回复了这条留言我就把这个系列所有视频的开头数学家语录截图下来

bwbwbwbwbw_:
感觉其实可以拉个群什么的，以及真心有对数学有爱的人，其实可以在3b1b推荐的网站一起上课，以及有心者共享下网站的premium账号，毕竟穷(￣ε(#￣) Σ

芜湖菜菜子:
求大大出数学分析视频，虽然我知道我的数分已跪，但是大学的一个目标就是在大学毕业之前学会数学分析（指能合上书，不背过程能轻松证出来书上的定理的那种，我对自己要求真的不是很高）QAQ P.S:幸好我不学数学...所以只要大四之前完成这一目标就好つ﹏⊂

【回复】当年我发誓要在高中读1000本书的时候也是这么想的。
【回复】回复 @我是黄俊宁 :但是...难道学会数学分析不应该就至少是这样的水准吗QAQ
【回复】回复 @充电器大大 :（心口痛QAQ
Carlmac:
利用面积相等推导 d(1/x)/dx ： 红色矩形面积 = 绿色矩形面积 => -d(1/x)*x = dx*【(1/x) + d(1/x)】 注：切记 d(1/x)是个负值 => d(1/x)/dx = -1/【(x^2)-xdx】 => d(1/x)/dx = -1/(x^2)

【回复】回复 @闲饮东窗- :如果dx是正数，d(1/x) = 1/(x + dx) - 1/x，1/x在图上是单调递减的，所以d(1/x)<0
【回复】道理我都懂，为什么d（1/x）是个负值
【回复】回复 @绅士黑炎龙 :你是对的，我打错了
墨影悠然:
周末做梦，坐电脑前盯着微积分01视频一整晚……真是威力惊人……(;¬_¬)