骚脑谜题：数学家们吵了几十年的双信封悖论，你能看出破绽吗

嘟嘟大橘猫:
应该换，让你知道自己是亏是赚，减少你的纠结成本[doge]

【回复】不换，因为情绪波动会加快新陈代谢，使人寿命缩短，所以想活的久一点就赶紧把钱送给我，让我替你们承担这份痛苦
【回复】降智视频，假设A有x，B有2x，双方交换后A的收益是100%，B的亏损是50%，你按照比例算就是总共收益50%正好你算的是5/4，平均一人收益25%两人50%，所以你在视频中所说二人不可能同时获益只是玩了个小聪明而已。
快开门有坏蛋:
肯定是交换的。 因为这里存在一个成本问题，首先你是0成本。 假设第一个信封有10000元。 那么第二个信封，很可能是5000或者2万。 假设失败你少5000，但是成功你多获得1万。反过来想，少5000你还有5000。 成功还能多1万。 怎么想都不亏。

【回复】无语了，首先经济学上少赚的就是亏的。其次，也不会有人送钱给你，你可以理解成玩这种游戏的条件是交7500的“入场费”，这样一想你可能更清楚一点
【回复】那你这样想 不交换不也不亏 [辣眼睛]
【回复】回复 @推算未来 :算了吧，你不适合理论推导
陨落灬凌:
这up根本就是找了个正确的解释来解释这种情况，根本没有说悖论悖在哪里。最关键的点“两个信封变三个”根本就是在糊弄。这个问题的关键在于你是如何把钱放进信封的，也就是 先验概率。 先考虑简单一点的情况，假设这对信封里的面额只有1-2，2-4，4-8，8-16这四种等可能，那你拿到4，请问你是希望换还是不换呢。按你的理论换不换都一样，但其实这里换绝对是正收益，即E(X2|X1=4) > 4，因为16的人交换把其他人赚的都亏掉了。其实你可以发现，只要给x一个正常的分布函数，都是可以如此计算做出交换决策的。 假设你是先在正实数轴上随机取一个数x放入信封，然后放2x到另一个信封。那x的分布就是典型的uninformative priors 里的 improper prior，(The uniform distribution on an infinite interval (i.e., a half-line or the entire real line)). 这个悖论的关键就在于x的分布，因为x的分布是improper prior，所以Bayes risk 无法被定义，衡量这个交换决策的好坏也没有意义。 参考：https://www.zhihu.com/question/26587176/answer/171624123

【回复】uninformative priors其实非常有意思，被营销号讲成这样也是真的[喜极而泣][doge]
【回复】回复 @陨落灬凌 :如果假设x服从半正态分布，那你是可以计算出哪里开始亏的。悖论精髓就在于使用了improper prior，则你的贝叶斯风险是没法定义的。
【回复】学过概率论就知道这里是x分布没给导致的[傲娇]哪怕我这种早把概率论还回去了还是记得这个
诺萨:
类似的悖论，我小学在百科全输上看到过， 讲的是外星人百分百预知你的选择， 给你两个箱子一个100，一个你不选择就是1w，选了就一分没有。然后外星人走了。 这时男孩女孩争论拿不拿第二个箱子， 男孩表示不拿，因为外星人预知准确。 女孩表示要拿，因为外星人已经走了，箱子数额不会再改变。 当时我只是以不存在这种外星人而结束思考。

【回复】正确的答案是：让男孩拿。因为外星人“100%预知你的选择”，也就是说，外星人预知了女孩选择拿，男孩选择不拿；所以男孩拿女孩不拿，完美破局[妙啊]
【回复】首先，一切悖论只是思维的误区。客观规律永远正确。男孩是对的，归根结底是因为能预测的外星人不存在
【回复】回复 @园艺家和睡鼠 :其实拿不拿都是一样的，因为他能百分之百预知你的选择。如果他想让你拿一百，你怎么都跑不掉。这个最好的解释就是平行宇宙。因为这个悖论存在的前提是外星人是全知的。
夺命二踢脚:
看似有道理，实际上确实谬论，而不是悖论。就像别的楼里说的，求平均数（数学期望）没有意义，因为每个都是独立事件，当你拿到手的时候可能性已经坍缩，不是up说的x和2x或者是2x和x，而是以你拿到手的数为基准也就是x（假设拿到手是100元）和2x（200元），或者是x（100元）和1/2x（50元），换句话说也就是开始拿100元钱，换的话1/2几率挣100，1/2几率亏50，换的数学期望应该是5/4x才对。换种说法也可以等价为你拿出来你一半的钱去参与一场赌局，1/2几率能赢，以及3倍的赔率，你自己想想划算不划算吧。

【回复】悖论就是分三个类型啊，1、看似合理实则错误；2、看似离谱实则正确；3、循环悖论（理发师），无解的。能让大家“理性”地起争论就是一个悖论了
【回复】回复 @PKU-Lithium :但是根据描述50和200的概率就是一样的啊，尽管现实情况做不到，毕竟很多问题一旦扩展到♾️，结论就会截然不同，这种问题写个程序跑一跑就知道了吧，1/2几率x翻倍或者减半，跑个1000次1万次，看看x的和以及输出的y的和的大小就知道了吧[笑哭]，不知道有没有大佬会写程序的。
【回复】回复 @夺命二踢脚 :我是学数学的，up主的结论是对的，说法也许有问题。你的错误在于认为50元和200元是等概率的，但是这个概率分布是没有说清楚的，如果你假定任何时候总有这样的等概率关系，需要分布函数f(x) =f(2x) ，但这样的分布是不可能存在的。
WTM狂吃:
每个国家这道题都不一样，因为你打开看到一分钱人民币你还会换么[doge]

【回复】换啊，另一个肯定是2分[给心心]
【回复】回复 @March_26th :不一定，说不定里面是半个一分硬币呢[嗑瓜子]
【回复】通俗点说就是有白来两百的话，换，有上千上万的话，不换
幽灵_無君:
这题最迷惑人的地方在于，换信封它根本就不是一个独立随机事件，其结果会受到第一次选择的影响。 如果第一次选了x，交换则必定2x。 如果第一次选了2x，交换则必定x。 最终交换结果完全取决于第一次选择，而第一次选择任何一个信封的期望相等[辣眼睛] 甚至还有人陷入这种误区： 甲：另一个信封有可能50有可能200 乙：不对，这样就三个信封了 甲：不，还是两个，另一个只是你不知道它是多少钱。 这有区别吗？[疑惑] 两个信封挑一个，可能拿到50或200； 一个信封，打开可能是50或200； 叠加起来，两个信封，分别有50和200，但你只能看到1个，你不知道你拿的是哪一个。 显然，重点不在于信封的数量，而是可能性的种类。“一个信封两种可能”和“两个信封”它就是一样的东西。

【回复】[藏狐]感觉up在偷换概念，50%的概率明显指的是“我”赚钱的概率，而不是50变两百的概率。如果真要杠，直接可以说这世上根本没有真随机，也就不存在概率这种东西了。
xiujiyoooooo:
什么怪问题[疑惑] 抽一次1/2签 交换信封不就是退回上一步“抽一次1/2签” 举例的算法用投硬币不确定结果的可以，信封是确定结果没有变量 我以为评论是骂营销号一看评论真大多数在思考🤔 果然加了钱就财令智昏 推荐交换一次让自己知道盈亏

【回复】什么都营销号，魔怔了[无语][无语][无语]
【回复】回复 @xiujiyoooooo :第一如果真有数学家提这个，那我估计至少也是近千年前提的。 第二抛硬币结果注定？你是能算的出来是不，你不作弊投连续十次正面十次反面给我看看。 第三我不是觉得就我知道这个答案，而是觉得这问题需要讨论？ 第四一口一个东西一个狗，你自己先说说这个问题妙在哪？我刚刚去百度了一下，这问题连个百度百科都没，乌鸦悖论一搜两个百科置顶？你自己搜索过吗？ 最后你叫我尊重up，请你先自己尊重人
【回复】回复 @云雾缭绕ddd :你的意思是数学家真的为了这个问题吵了几十年？心疼你数学老师[给心心][给心心]
排骨羹:
“要么百分之百是50，要么百分之百是200。”总感觉哪不对劲

【回复】这就好比说，扔一个硬币，正面50%，背面50%。然后题目改为把硬币扔入黑箱，打开黑箱的时候，硬币正面50%，背面50%，但因为已经扔完了，在打开黑箱前，就是这个up说的要么100%正面，要么100%背面。这不是屁话么？决定概率的还是扔的那一下而不是打开黑箱的那一下啊。同样原题里决定数额的是放钱的那一刻，不是交换信封的那一刻。你不知道最初放了多少钱，已知条件就不足。算的概率有矛盾不是很正常？搞什么“要么…要么”。这就是中学概率没及格。
【回复】up不懂概率，不具备科学观念
【回复】一个信封放50，一个信封放100。那我拿了100的信封，那么剩下那个信封百分之百是50的。不可能是200的。哪里还有可能性，都明确了好不。然而悖论里不是这样子的，你打开一个信封，是不清楚下一个信封是多少的
人的沟通:
我觉得悖论点出自于换了，只有1/2X或者2X其中一种选项。因为钱已经定好了，不会出现换了有可能得一半也有可能翻倍的情况。 举个例子，两个信封，一个50，一个100己装好，你选了一个，换，另一个只会有50或100两种情况，不会说你选了100会出现换了变200的情况。 但视频里偷换了概念，把可能性叠加了。如果选了50则另一个信封可能是100，如果选了100则另一个信封依然叠加2X可能变200，这里就错了。

【回复】但你不知道啊，不会告诉你是50，100，还是100，200，哪怕是确定的，你不知道就是有可能，有概率
【回复】回复 @mana159 :这里就是混淆的地方了，这两种可能是冲突的，不能叠加。 换句话说，如果你选择换信封，你只会得到1/2X，或则你只会得到2X，不会说你可能得到1/2X【也】可能得到2X，这是错误的。 如果你选择的信封是100，那么你只可能换到50的，不可能换到200的，因为根本没那个选项。同理，如果你选择的是信封是100，那么你只可能换到200的，不可能换到50的，因为也根本没这个选项。不会出现说，你选择了 一个信封，可能换到50，也可能换到200，不存在的。有50就必然没有200，有200就必然没有50，只能有一种可能，所以那个公式1/2X*X/1/2*2X=5/4X这个计算是错误的。
【回复】回复 @F_H_Jack :应该能，理就这么个理。
千鹤舞:
这个问题的关键在于信封的钱数一开始是0到正无穷，这导致信封里的钱数没有先验概率分布，所以这本身就不能用概率论计算，本事就是一个伪命题

【回复】回复 @南菁 : 在0到正无穷区间里哪来的均匀分布？你以为x随机到100还是200还是200000000是等可能的吗，这是个最大的误区，实际上无法在0到正无穷区间内等可能的随机一个数，不能证明在无穷区间里存在均匀分布，所以这个期望计算是undefined的。
【回复】回复 @南菁 :因为答案和先验概率分布相关，不同先验对应不同的答案。换句话说，你需要首先假设一个先验概率分布，才能求收益的期望。这个佯谬里实际上隐藏了假设，即打开第一个信封后的后验概率和先验概率相同，因此是错误的
【回复】不适合先验概率=伪命题。你倒是说说这题有啥错误的地方
chaos:
抽到100，你又不知道另一个是50还是200，那么换了以后，50%概率亏50，50%概率赚100，所以这种事果断换，稳赚不赔。

【回复】他开头就说了这个陷阱，你还重复一遍[藏狐]信封里的钱已经确定了，没有一半概率50一半概率200的说法
【回复】你这个不就是三个信封了吗，设未知数，分类讨论就可以避免这种情况，你这是常见的概率错误[脱单doge]
【回复】事实是，按你这个思路，你不打开第一个信封也会选择换信封，因为哪怕在不打开信封的情况下，你也会认为换信封就能增加数学期望。那问题来了，再给你换一次呢，按你的思路，换回原来的信封又会使第一个信封里的钱的数学期望增加？属于是左脚踩右脚上天了。
幽灵-Apcr:
期望值5/4有问题吗？ 假设有n轮 每轮你都会拿到一个100的信封，如果你选择换，那么你可能拿50，可能拿200，两者概率相等。 简单计算就知道，当n足够大时，最优策略自然是每次都交换。 这个计算的期望值当然没错。 但是注意，当n变小时，情况就随机了起来。 假设n仅为1，那么你当然可能换了只拿50，因为没有足够的轮数让你后面再拿200。 是轮数n让这题看起来很搞，因为n太小了，计算出的期望值根本没意义，因为但凡初中就学过了：统计单次的随机事件是根本无意义的。所谓的概率，必须当n足够大时才能显现意义。 轮数不够，谈什么期望值，所谓的拿200赚100，拿50只亏50，你要能接受你就换呗，接受不了就别换，老老实实拿100走人。 当轮数很大，比如1000轮，那肯定是每次都换，因为这个时候，收益确实会比不换多5/4。因为当你拿了50，你有足够的轮数去再拿200赚回来。 总结：是n的锅，期望值的计算可没一点问题。

【回复】有问题，你这是没看懂视频的情况吧，你这个是已知自己拿的x，对面可能有2x或者1/2x。 但视频是随机在x和2x里面抽一个，然后交换，期望算出来应该是3/2x，而且换不换都是3/2x
【回复】这题本来就是在讨论数学期望……
小喵XMOW:
换信封后，一个人亏了50%，另一个人赚了100%，但亏的50%和赚的100%实际上是相同的数量，看似不同只是因为基数不同罢了

【回复】你输给亿万富翁100万，你差不多就完蛋了，亿万富翁输给你1000万，他还好好的
【回复】你这句话只能说是真命题，完全无法解释他的题目
wyf_Moraner:
这个悖论的源头就是在没给分布的情况下，有人主观认为另一个信封的金额是二倍和一半的概率均等，事实上在任意给定分布的情况下，换与不换一定是有差别的(期望都可以明确算出来)，觉得换与不换没区别的是被这里假设的无意义的无穷大区间上的均匀分布误导了，换与不换无区别的前提是“看到一个信封的金额“是无效信息，而只要不是无穷大的均匀分布，这个信息一定是有效的，例如前面有人举例的离散情况(因为不存在一个分布可以让任意一点一半和两倍的概率密度都相等，一个直观的想法是均匀分布，但右侧边界点就出了问题，于是想向右无限延伸——无限大的均匀分布就此诞生，然而并无意义。而只要存在一点一半的概率密度和两倍的不相等，此时的拆开一个信封已经是有效信息了，换与不换是等价的这一点就是无稽之谈了)

【回复】回复 @章末检测 :“上帝随机撒3x个硬币”这个前提在现实中是不存在的，随机是什么？是均匀分布吗，当做只撒整数个硬币的话，硬币数量就是1 2 3 4...直到无穷，撒每个数的概率都是无限趋近于0，＜任意正数，你会发现现实中根本撒不出来，所以题主说的均匀分布是不可能的，非均匀分布是可能的，比如撒x个硬币的概率是2^-x，那所有概率相加就正好为1
【回复】为什么会是有效信息呢。上帝随机撒3x的币，你没法知道x是几，也就没法判断自己手里是x还是2x啊.你的对手也没法判断这一点。所以不管换不换都是抛硬币的1.5x期望。 没法确定自己手里是大的还是小的，所以什么时候决定换或不换都一样。 抽之前决定策略： 如果确定不换：50%x，50%2x。 如果确定换： 50%抽到x：换成2x 50%抽到2x：换成x 两者期望是一样的。
【回复】说的很透彻，明白了；感谢大佬
LemonFroyo:
问题应该是，1/2*x和2x里面的x根本不是一个数，所以求平均没意义。不然还能有许多悖论，比如无限交换能把手中钱的期望变得无穷大，或者用对方手里的钱y算就亏了等等。关键还是两个x不一样。

金窗绣户看妖娆:
这题正确的解释是，实验先假设信封里已经装好钱，为x和2x，你随机打开一个看到的钱是m，m有50%等于x，有50%等于2x，期望是1.5x，交换后期望也是1.5x，所以不换。而产生悖论的原因是：你假设了每次打开后的钱都一样，比如我们把这个实验反复一万遍，每次两个信封的钱都是x和2x，你的m一定是变化的，在x和2x之间跳动。如果你每次的钱都一样，那这个实验就变成五千对信封是0.5x和x，五千对信封是x和2x，你走狗屎运每次都抽到那个x，那不交换的期望是x，交换后的期望确实是1.25x。

孤城_浪客:
b站现在怎么这么多伪科普啊，你这视频让我想起上学时有同学答案对了一分没得，跑去问老师，答曰：过程全错，狗屁不通，结果相同？纯属巧合。