「高中数学」如果你被「函数」烦恼，花10分钟解决你！

正常一种:
这个up太好了！高考完一定推荐给同学看！[星星眼]

【回复】考完再推荐属实带恶人[doge]
【回复】我先保存再举报，等我过了再分享推荐给大家[doge]
【回复】你个带恶人！可恶啊！太可恶了！哦？什么原来我也是带恶人？那没事了[doge][doge]
小获_:
弹幕里好多的内卷，我只是想说，没有意义的内耗才是真正的内卷，看个视频想让自己变得更好一点有什么不对？

【回复】事实上很多人并不知道内卷的真正定义是什么 就张口闭口“内卷了”
【回复】假设没有意义的内耗才是内卷，那么内部竞争又是啥？有意义的内卷？
【回复】内部竞争不是有意义的内卷吧，所以，没有意义的内耗不是真正内卷。 当然啦，看视频让自己变得更好是认同的
Zeczery:
高考数学满分的人告诉你们这个视频对现在的教育很有用，这才是真正学习该思考到的东西，而不是单纯的刷题，刷100道题不如把1道题的知识点全部理解透彻

【回复】虽然你夸了我[doge]，但我还是要说评论区很多宣传自己考xx分的是假的，这个也不例外值得去怀疑。所以我不喜欢在简介里宣传自己的学业荣誉，这是原因之一
【回复】回复 @分析师凯子巨人 :我是看到那个148的觉得无语才说的，正常情况下这种过去的事儿我都觉得没必要说[doge]好汉不提当年勇
【回复】回复 @花朝花月 :我见过很多优生也只是在刷题而不去理解函数的本质的，好多人就把函数单纯的当做代数关系式，而没有去理解变量之间存在的依存关系，可能那部分人会做题，但他们也仅限于应试了，同时up这种讲课的模式相比于大多学校的老师来说可能更通俗易懂一些，能接受的人更多，只要有人受到了帮助我觉得这个视频就有存在的意义。
yo长大啦:
我们高中大部分时间在讲卷子，而书本内容居然没怎么讲过，我觉得就很离谱，基础的书本不怎么教，一直教我们怎么答卷子上的题，天天教套路，不同的卷不一样的难度就讲不同难度的卷，就没碰底层的逻辑基础，所以我高考数学很差，但理综物理却因为喜欢，基础很牢，所以很好

【回复】我感觉书本内容单个放出来都能理解，课本的练习题都能做对，一放考试多种概念融合到一题就感觉巨复杂。我们这边高一高二把东西全学完，高三就是一个复习年，一年都是刷题讲题模拟考。
【回复】回复 @姬幼清 :楼主说的书本内容，和你说的完全不是一回事，看不懂书本内容的学生能有几个，能做出来书本习题也不能说明什么问题。对于书本内容理解的深度才是最关键的，我想楼主说的应该是这个吧？而不是简简单单的所谓“看懂”“能做出来”，太基础就等于没学，因为根本理解的没有深度，所以才不会做卷子，因为卷子对知识点的考察是有深度的
【回复】《来源于课本，又高于课本》
普鲁赛斯:
做为一个高中历史教师，我非常理解up主做这个视频的出发点。很多人质疑这个视频太基础，太简单，人人都会还用讲？可问题是在于你懂了，不等于别人都懂了。你会做题，也不代表你会讲题。你是优秀的做题家，而up主则是想成为知识的传播者。很多人对学习有一个误区，这个知识点这么简单？还用讲？是啊，中国历史这么简单，为什么还有人连三代，五代是什么都不知道？为什么还有人不能背出明清的所有皇帝？我毕业后在高中工作了三年，带的学生多数是中考连普高线都没过的。一般中考分流50%，就算是进入高中的那50%学习数学是头等难题。如果你觉得讲的没用？那是因为你是那1%的尖子和天才，那是因为你从小就享有优良的教育资源教育环境。你足够优秀，你当然可以忽视基础。另外up主也没说不用刷题啊。高中的课本，是真正意义上全人类智慧的结晶，你懂，不是你有多聪明有多厉害，而是你站在巨人的肩膀上。

【回复】回复 @o泡小猫来一只 :三代是夏商周三代，加上春秋战国可以叫先秦（应该还有部落时期），五代应该是五代十国吧，唐后宋前，作为历史80加的现役高三生，感觉高考注重的是对历史规律的理解，不在于背诵。
【回复】所以什么是三代，五代？[妙啊]
【回复】我们数学老师也这么讲，你把你会做的题讲给别人听，别人能听懂你这道题才叫会做
绫行洁:
我看了一下 《北京四中高中数学讲义》关于函数的说明部分 发现它跟您的说法是非常相似的 那本书是上世纪90年代的一套书籍 现在我觉得它非常有研读的价值了 确实 我高中所遇到的所有数学老师都没有像您一样从更加本质的地方切入来讲解 感谢您的启发 加深了我对映射这个概念更加深入的理解

【回复】回复 @叫WO劫 :emmm 我觉得是因为课本追求所谓的减负 删掉了很多概念 比如上海在讲函数的时候不讲映射是什么（实际上这个概念很好理解 高一就在学计算机编程嘛 把映射想象成程序框图就能说清楚很多概念）但是课本不写映射 很多学生就容易搞不清函数和解析几何的xy 所以使得知识点讲起来更加麻烦 然后还有一点就是上课顺序也有很多的影响 比如三角的两角和差公式是可以用向量数量积推导的 但是向量在三角后面学 然后上完向量直线不学先学立体几何 这个增加了学生对数学的理解难度 最重要的是我作为一个数学老师真的是觉得有的时候课本不说人话[捂脸]
【回复】我是前精锐高中数学教师 我在备课的时候也经常用这套书 上面写得内容比现在校内课本更适合理解 强推 （我有扫描的电子版 有需要可以回复我/私我）
【回复】回复 @今天也是单身狗呢 :为什么上个世纪90年代出版的书比现在用的反而更平易近人，更易理解，从某种程度上来说，这算是教学上的倒退吗
数学分析爱上我:
学生的学习的快乐来源于顿悟，而不是来源于多记了一个公式。后者只能增加学习的负担，而后者帮助你更加理解我们身处的这个世界的本质

【回复】原来增加学习负担可以帮助我更加理解我们身处的这个世界[热词系列_知识增加]
【回复】想知道顿悟的能力是不是因人而异的呢，有时候发现自己就是越不过一个简单的逻辑关系导致对这部分的知识理解不透。高一刚开学的化学老师很好，每个知识都又深又透，让我上课有顿悟和收获的感觉，培养了很好的化学思维我才有自信选择化学，但是分了班之后的老师就是死记硬背和捋不清的知识关系，总感觉学的和做题之间差点什么，但老师讲不明白就不讲，现在很久没有顿悟的感觉了思维也退步了很发愁[捂脸]
HKKK哟:
喜欢深度理解的可以看看 烧掉数学书，讲的是很多数学概念那些是怎么来的。 另外有本吴金闪的 教的更少，学的更多。是讲理解型学习的和教师该怎么教理解型学习，up主讲的不错，我感觉你也是偏向理解型学习，而不是让学生就刷题背公式，明明背后的思维方式明明蛮有意思，却被一般的教育方式弄的没有灵魂

【回复】数学背公式就是脱离本质，语数外，本来就是三个工具学科，数学锻炼各种思维能力，语外都是学习语言和语言对应的文化，本质是锻炼理解和表达能力。知道本质后，就知道用什么态度去对待这些学科。一个锻炼思维的学科，你或许能通过背公式背口诀来获得做题的一些效率，但同时也失去了学科的本来意义，就会导致面对复杂的题型时手足无措。
【回复】已经全烧完了，下一步呢[热词系列_知识增加]
【回复】回复 @禁灵风烈 :数学背公式不是脱离本质，是脱离意义才能看到本质。
小社不吃白饭:
很有感受。 比如物理曲线运动， 一个固定的四分之一圆弧曲面，小球从下方滚上去，假定速度足够大，曲面光滑。 很多人不会去问 “为什么小球是竖直飞起来的？” 抑或是 “为什么小球不是做斜抛运动？” 要是换成动量守恒（水平方向）的题目。 光滑地面上一个未固定的四分之一圆弧曲面，小球从下方滚上去。 很显然，到圆弧面最高点时，球和曲面水平方向速度相同。此后，小球相对于曲面做竖直上抛运动直到与斜面接触。 这时候就有很多人问。 “为什么曲面最高点球和斜面共速？” 或者问 “为什么球不是相对地面做竖直上抛运动？” 两题其他条件相同，当你把固定斜面换成他们不熟悉的可移动斜面，他们就因为不能靠“常识”来做题而做不出。 答案是，相对于曲面，球的运动轨迹都是四分之一个圆弧，所以最高点切线方向为对应的相对速度方向。由此，小球在最高点相对于曲面只有一个竖直向上的速度，即水平方向速度相同（或同为零）。 而这是曲线运动第一节的知识。 很多人说自己写很多题怎么还没提高，该做不出还是做不出。 那我只能说是瞧不起教科书作者的人，同样被学科瞧不起。

【回复】并且要理解，你要做的不是想不想得通，你现在要做的就是把基础变成常识。 而不是学完物理电学后，还指着化学电解池问：“为什么阴离子跑去阳极？” 更可怕的是，有人在学完物理电学后，还把化学原电池里“阴离子向负极移动”的知识点当成记忆性知识点去背。 这样的人干脆别学习了，每天去背，去感动自己，然后自以为基础很牢固。最后怕不是一毕业学到的全部忘掉。
【回复】回复 @bili_16919379523 :首先，这个解释是高中阶段最合理的解释。 所以你在这批驳我毫无意义。 当你说出用“生活常识一想便知”的时候，你就应该明白你是什么水平了。 希望你不是那种认为上楼梯是支持力做功的，一想便知的人。
【回复】回复 @bili_16919379523 :厘清概念， 恒力做功计算公式虽然是 W＝Flcosα 但lcosα指的是力的作用点的位移。 所以上楼梯并不是支持力做功，脚底一旦离开地面，支持力瞬间消失，何谈支持力做功。 可以类比弹簧， 将轻弹簧压缩于墙面，另一段钩连小滑块，释放滑块，滑块动能是弹簧弹性势能提供的。整个系统（弹簧及滑块）的能量变化与墙壁弹力无关。 上述情况，接触面间的弹力有冲量存在，但是没有做功。
erakebolat:
同作为老师，我认为这样涉及到本质的讲解只能适用于一小部分学生，大部分学生更容易接受具体题型总结出来的口诀。 不知道从up的经验来看如何

【回复】并不是，我还没遇到听不懂的学生。很多时候锅在老师自己这边，背口诀是引导学生走向急功近利的第一步，但是教口诀的确比教本质对教师要求低的多，中国教育阶层平均素质还没有完全跟上来，很多老师这么做也不奇怪。
【回复】回复 @分析师凯子巨人 :我的印象很深刻，高中老师在教数学的时候，在讲定理，概念一笔带过，后面就在黑板上教一个又一个的题目，先不说这样教，黑板上的题目台下的学生原题能做到哪一步，更不要讲题目只要稍微变一变就根本不会了。 老师的想法是学生基础差，就应该多讲讲题。 我高中数学唯一学的比较好的就是向量了，就是概念比较简单，自己能够理解，那一章的成绩就比较好，其他的数学知识点高中阶段都很拉夸。
【回复】回复 @erakebolat :并不是，学本质比学做题提分快得多，否则我教这些干嘛。
tracyrosyclouds:
流泪了，为什么我高中没看到这个视频，解决了我多年的困惑[tv_笑哭]终于知道为什么要控制函数值相等了，原来是人为构造的啊啊啊，还有终于理解为什么不是括号里的是自变量而是括号里的x是自变量了[tv_笑哭] 三角函数的伸缩变化就没完全理解透彻过，记了忘忘了记

【回复】其实我理解的是，这个函数是f(x)另外一个函数是f(1/2x)假设它们函数值相等，那么就要让f(1/2x)中的x扩大两倍才能等于f(x)，所以f(1/2x)图像也要扩大两倍
【回复】有幸看到，原来自变量是x,我一直以为是括号内[大哭][大哭]
【回复】回复 @铁锤的小迷妹 :高等数学里面的对应法则，改了一下就成作者的了
元气少女SX-Lucky:
我发布了一篇笔记，快来看看吧 元气课代表带着笔记来啦！请大家帮忙顶上去！ 感受：数学就是“顿悟”！原来如此！ 【图片】 符号f： （事物对应关系）一些东西输入到系统，系统以特定... https://www.bilibili.com/h5/note-app/view?cvid=13928740&pagefrom=comment

鲜丰水果官方:
《关于我一个卖瓜的来看高中数学这件事》[呆][呆]

【回复】没关系 对你算账有好处[脱单doge]
515514:
个人理解 f(x)的含义其实就是指f是一种运算规则，括号里的x是需要经过f这个规则去运算的对象（输入），f(x)就是运算后的结果，即y（输出）。只括号里不管是什么那的玩意都是运算规则的对象就行了。比如f(x)=3(x-1)ˇ2-1，f就表示先减1再平方再乘3，再减1这样一个规则，对象是x，则f(2x+1)依然表示先减1再平方再乘3再减1的规则，只是规则对象是(2x+1). 即f(2x+1)=3【(2x+1)-1】ˇ2-1

【回复】你的解释没问题，但是不是本质。本质是x轴经过f,变成另外一个轴。f相当于一个空间隐射，把x轴变形成y轴，这个就是一元函数。如果是f(x,y), 就是把一个二维区域空间隐射成另外一个二维区域，可以理解为一个圆盘烧饼扭曲成另外一个形状怪异的烧饼。这个是空间拓扑映射的理解，也是广义相对论的理解。f(x) = x^2, x轴经过映射，没一个点映射到和x轴一样的轴上，比如x=1, y=1, x=2,y=4, x=1, 和x=2之间距离差1，对应的y=1 y=4,距离差3. 如果我要把y轴映射过来的点和x轴映射的点完全重合，y轴的密度就会发生变化，放到直角坐标系表现为拉弯，但是如果硬是要让y轴强行和x轴重合，会发生空间扭曲，在一维空间看，y轴是密度发生变化，二维空间看（直角坐标），y轴就拉弯了。我这个思想，如果要学拓扑映射，必须这么去理解。
【回复】y=f（x）的定义域为【0，2021】意思是算出来的结果f（x）输出的值在0，2021之间。 ～～～ 我现在没有理解的是f（x）在【什么，什么】上有定义是什么意思 ～～我看到一个题：设f（x）在【0，1】上有定义，要使f（x-a）+f（x+a）有定义，则a的取值范围是？ 这道题我不知道怎么解，更不知道这道题是什么意思？求解惑
【回复】高中就没整明白，稀里糊涂就是算
走向ai的凯子老师:
点进来的同学下期想看什么呢[脱单doge]

baby半世浮华:
作为一个程序员，我说下现在我对up讲的高中数学的理解，我现在才发现up所说的复合函数很像我接触的高阶函数（javaScript中的一个概念，将一个函数作为参数传给另一个函数）。还有就是我现在看up说的函数的上下左右平移和扩张就感觉很好理解。我现在也真正感觉有些理解什么是映射关系了。

【回复】程序的子函数就是如此的，相当于对一个变量映射处理
【回复】把函数作为参数的，一般叫泛函，当然本质也是映射，复合函数是体现在函数调用函数
-承和-:
(注：以下言论可能会有不严谨或存在漏洞的地方，望指正，本人还只是个高中生[捂眼]) 首先回到函数的映射关系 如函数f(x)： x → ( x , f(x) ) → f(x) 那么复合函数f(g(x)就存在映射： x → ( x , g(x) ) → ( g(x) , f(g(x)) ) → f(g(x)) 建立一个立体直角坐标系xOyOz， 函数f(g(x))映射在x，y，z轴上的值分别为x，f(x)，f(g(x)) 在关于xOy的平面z=0上画一个函数g(x) 再在关于yOz的平面x=0上画一个函数f(x)， 将f(x)的图像在x轴方向上遍历，形成曲面 依次进行映射： x → ( x , g(x) ) ( x , g(x) ) → ( g(x) , f(g(x)) ) ( g(x) , f(g(x)) ) → f(g(x)) 最后在关于xOz的平面y=0上就会出现函数f(g(x))的图像

【回复】对不起，这是一条改过的评论，其实那条错误的评论在二个小时之前已经发了，后来想了下，越想越不对，发现出了个大问题，其实这东西我想复杂了，也没那么高级，这是我傲慢了[捂脸]
【回复】我之前的思路是复合前的函数f(x)通过复合变换到f(g(x)),也就是从f(x)到f(g(x))， 其实复合的思路应该是 x 到 g(x) 再到 f(g(x))，这些东西在学校老师都讲过了。。。 望引以为戒，无论是我还是各位 初出茅庐，技术还须更精进
【回复】1.整理知识点 2.刷题 3.整理错题本。 循环反复，不断迭代，会的刷熟练，达到高考要求的时间以内；不会的问老师、上作业帮、上元助理、上猿搜题。总之，死磕，题挡杀题，知识点挡杀知识点，做题慢杀时间，干就完了。[doge]
十二维彪彪:
望着窗外的大雪，这个视频仿佛炭一样温暖。 今晚的雪，真美[脱单doge][脱单doge]

【回复】初秋的窗外落叶纷飞，而我的内心却下着鹅毛大雪[脱单doge]