1/x 完整循环小数解

lndeterminate:
质数n的倒数循环节长度一定是n-1的因数，当n的倒数循环节长度刚好是n-1时，这个循环节就叫作走马灯数（或循环数），像142857那样，这个质数n就叫做全循环质数，100以内的全循环质数有7,17,19,23,29,47,59,61,97

【回复】1949好像也是全循环质数[doge]
【回复】本质上是以10为原根的质数[吃瓜]
【回复】高中无聊的时候算过1～30的倒数，然后也发现了这个规律[doge]
请将答案填写在答题卡:
up加油[打call]提个建议，能否不要给数字加特效，个人认为很影响观感

【回复】回复 @Puton2018 : 不行，我就是喜欢闪瞎狗眼特效
【回复】嗯嗯 下一集🆙就不附加了
冥王星和他的卫星卡戎:
貌似当X大于10且是质数时，循环节会很长

【回复】回复 @Puton2018 : 37*27=999,41*2439=99999
【回复】取决于分母是至少几个九的因数
我叫亮伟:
我之前考虑过一个求循环节的算法，简单来说逻辑就是0.9999…=1.0000… 我猜应该是被发现过的 具体操作就是用给的数字凑9，首先，我们要把所有2 5两个因数提出来，这两个本身的倒数是有限小数，所以作为特殊处理（另：如果是另外的进制就要把其他进制的因数提出来，比如9进制就要提3，然后去凑0.8888…=1.0000…） 提取之后的数，用1-9去和求倒数的数字试积，当任意一个数凑到乘积结尾是9的时候就记录这个数，乘积舍去个位，比如379就变成37，然后用这个新的数加上新的一次试积结果，同样结果为9记录试积结果（如果有连续的9，比如199，那就先去掉一个9，剩下19，试积结果为0*（）+19，记录0，舍去结尾9，剩下1，也就是说连续的9就记录一次，然后剩下补0（这个属于取巧的逻辑，不重要） 当结果舍去了所有的9剩下的为0的时候（或者算出来全是999…），就说明结束了，将记录的数值反过来写就是循环节了，至于循环节前的数字，那是2 5为因数才有的现象，具体的证明和提出来的2 5因数的处理就不细讲了 处理2 5因数就是对它的循环节除以对应数量的2和5，然后后续循环节和自身相互重叠的部分相加，就能得到结果，特别是有2和5成对了，那就可以直接除以一个10（爽到了[doge]）

【回复】其实你和我的思路框架很相似呢[doge]我是先判断这个数x分解质因数的情况，从而确定1/x的小数类型： (x, 10)=1→纯循环小数； x=2ᵃ×5ᵇ→有限小数； x=2ᵃ×5ᵇ×q→混循环小数（q为除了2和5以外其它的质因数之积）。 其中循环节部分用999...9/q计算；不循环节用【100...0/m】计算。
【回复】回复 @Puton2018 :那其实是一个逻辑（原来这个叫混循环小数吗，忘得差不多了）
妲己的宝宝:
当x为整数时1/x的循环节是否有长度上界存在？如果不存在循环节是否能遍历全部正整数？[墨镜]

【回复】当x为整数时，我们考虑的是有理数1/x的小数表示形式。如果x和10是互质的，那么1/x可以表示为循环小数。这样的小数的循环节长度最长为x-1，这是已知的一个结果。因此，循环节的长度有一个上界，这个上界是x-1。 例如，考虑1/7，我们可以得到0.142857142857...，循环节的长度为6，这是小于7-1=6的。 然而，如果x和10不是互质的，例如x是2或者5的倍数，那么1/x的小数表示形式不会是循环的。 至于你的第二个问题，即循环节是否能遍历全部正整数，由于循环节的长度最长为x-1，这意味着并不是所有的正整数都可以作为某个数的循环节长度。例如，不存在一个整数x使得1/x的小数循环节的长度为x。[呲牙][呲牙]
【回复】不存在上线，构造1/（10^n-1），此时的循环节为000…1（n个0）
【回复】回复 @Puton2018 : 但你好像说了x不与10互质这个条件
吃了NH4NO3的屑小栾:
下次在三十六进制范围内出个1^（-1）～60^（-1）的循环节[doge]

【回复】回复 @Puton2018 :这里的60是三十六进制里的[脱单doge]
【回复】回复 @Puton2018 :是的，不过3这个质数比5更常用吗[doge]最常用的质数是2和3[doge]
【回复】那么质因数就只有2和3了[呲牙]
晓之车高山老师:
眼睛疼，看到20就有点不适了。咱别用特效也许会好很多

小法何Shohoka:
那些本身很大、倒数循环节却很短的质数，都是拉关系乘出多个9得到的，比如37（37*27＝999）、101（101*99＝9999）、271（271*369＝99999）等[doge]

【回复】回复 @北京地铁8号线_ :就是先找都是9的数字的因数，随便找到其中的一个质数用1除循环节都不会长到离谱
【回复】为啥？我数学不好不理解
言妄_O-W-P:
话说一直很好奇一个问题，就是利用倒数的循环节来考虑的话，一定会存在99……99（至多（x-1）个9）被x整除，这样的性质能否直接证明？

【回复】对于任意一个与10互质的自然数n，求证一定存在一个自然数m=10^p-1，其中 p ≤ n-1，使得 m 能被 n 整除。 证明： 首先，我们可以观察到当 n=1 时，m=10^0-1=0，0 能被任意自然数整除。因此，对于 n=1，结论成立。 接下来，假设对于一个与 10 互质的自然数 k，存在一个自然数 m=10^q-1，其中 q ≤ k-1，使得 m 能被 k 整除。即假设对于 k，结论成立。 现在我们考虑与 10 互质的下一个自然数 n=k+1。根据欧几里得算法，我们知道如果一个自然数 a 能被另一个自然数 b 整除，且 a、b 互质，那么 a 与 b 的差也能被 b 整除。 我们有：m=10^q-1 能被 k 整除。那么 m=10^q-1+k 能被 k 整除，因为 m 与 k 互质，且 (10^q-1+k) - (10^q-1) = k。 现在我们需要证明 m=10^(q+k)-1 能被 n=k+1 整除。由于 10 与 k+1 互质（已知与 10 互质的连续自然数相互之间也互质），我们可以使用模幂运算的性质来证明： 10^(q+k) ≡ 10^q * 10^k (mod k+1) (模幂运算性质) 由于 k+1 与 10 互质，根据费马小定理，10^k ≡ 1 (mod k+1) 所以，10^(q+k) ≡ 10^q * 1 ≡ 10^q (mod k+1) 现在，我们有 m=10^(q+k)-1 ≡ 10^q - 1 ≡ m (mod k+1) 由于 m 能被 k 整除，且 m 与 k+1 同余，因此 m 能被 k+1 整除。 综上所述，对于任意一个与 10 互质的自然数 n，一定存在一个自然数 m=10^p-1，其中 p ≤ n-1，使得 m 能被 n 整除。证毕。
【回复】回复 @Puton2018 :？！ 费马小定理！ 抱歉是我脑子抽了
【回复】回复 @Puton2018 :我的意思是至多（x-1）个，以及如果有必要不妨可以设成互质，但这个命题是否可以直接证明？
小法何Shohoka:
49绝对是100内倒数循环节最长的合数，因为7本身就是10以内倒数循环节最长的数，乘个2次方的话因为和跟7没关系的数字都互质所以49倒数的循环节长度堪比质数[doge]

已换号看置顶动态:
循环节不能是单个9或0，所以第一个……

あっらふ:
1/49[doge][doge][doge] 1/97[doge][doge][doge][doge]