【拓扑流形】为什么现代数学不研究平面几何？平面几何还有意义吗？

卡卡罗特了_:
无论是竞赛还是中考高考，都是为了选拔而已。讲道理平面几何用来培养人的空间感，就不能考的太难，以培养为主。以前高考数学就是这样，空间几何题都是前几道送分题，不会难为大家，又培养了空间想象力，这就很好。放在竞赛中是否合适就见仁见智了

【回复】其实我感觉近几年数学竞赛的平面几何也有变简单的趋势，不会考太难的平面几何
【回复】我觉得培养空间感的话立体几何效果更好？
【回复】回复 @bromocriptine :立体几何不敢往难了出，能做出来的人太少，没区分度
PiKaChu345:
我说说我了解到的知识： 1. 我觉得这个问题的回答应该是Tarski在1950s的结果，证明了所有初等平面欧氏几何都是可判定的，也就是说所有平面几何问题都存在一个算法可以判断平面几何的命题是否为真。 然后七十年代有一些个在实际上可行的算法去完成这种机器证明，比如Wu方法，以及Buchberger算法，本质上是算一组多项式生成的理想的Grobner基。相当于就是平面几何问题都可以转换为代数问题，而这样的代数问题都是可解的，有一些实际的算法可以用(这样的算法在现代数学计算软件当中都有，例如Mathematica,Maple,sagemath等)。 2. AlphaGeometry这样的人工智能解决的为何是平面几何，而不是IMO当中的数论问题？我的理解是，根据AlphaGeomtry的官方文档中的描述，他们是把人类语言叙述的数学题目转换为机器语言，这个步骤用到了深度学习的模型，然后转换为机器语言以后本质上都是代数问题，可以用已经有的算法来得到结果，最后把算法执行的结果想办法翻译为人类语言的证明(这一步应该也是用深度学习的模型完成)。所以为何AlphaGeometry这样的AI模型会首先瞄准IMO当中的平面几何，主要是因为平面几何在上个世纪就被证明一定可以用代数办法解并且得到了实际可用的算法，所以AI现在又在理解人类语言上取得突破，二者结合诞生了alphageometry这样的产物。

【回复】对对，这个AI方法完全不能拓展到其他领域，有非常本质的困难
CC-ss:
歪个楼 其实这个问题有点循环论证之嫌[脱单doge]现在真的没人研究平面几何吗？并不是的。平面几何里仍旧有很多公开的问题，比如沙发问题（求能通过宽度为 1 的直角弯的沙发面积的极大值），比如各种密铺问题（例如彭罗斯镶嵌），比如前两年刚被解决的内接正方形问题（平面里的闭合曲线上一定存在四个点构成正方形），等等。当然你可能想说，这不叫平面几何，而是泛函分析/组合几何/拓扑... 嗯，所以我说这有循环论证之嫌。如果把平面几何定义成“那些已被研究透了的关于等式的几何”，那...一个被研究透了的东西没人研究了，这不是废话么。但如果把平面几何定义成“发生在欧式平面中的几何现象”，你会发现里面的故事很多呢~

【回复】传统平面几何，我认为只限于高中那种、基于笛卡尔坐标系的，没有弯曲扭曲，什么二维屏幕扭曲成三维，不是拓扑研究的那种。高中生感觉自己都能看懂，但可能解题技巧极高、数学专业的研究生都做不出来（很正常）。这种我觉得没啥必要去深究了。就像up说的，总归是可判定的，无非计算量大一点，交给计算机。譬如你会加法乘法会背九九乘法表之后，你不会觉得999999999*999999999是一道很难的题，你也不会有兴趣，也不会去算了，它被解决了，即便我口算不出来，即便我笔算不出来（其实可以），总归是已解决的问题
【回复】初等平面几何是指用初等方法、使用初等图形工具（直线，圆，多边形）能够描述、仅采用纯初等平面几何工具就能够解决的平面几何问题。
【回复】回复 @dxcharlary :哥德巴赫猜想确实也是平面几何问题[偷笑] 已知一个圆的面积为偶数，证明该圆内至少存在一条弦，能把该圆分成两个面积为质数的弓形[doge]
寿司屋的营业:
与其说是平面几何，不如说是传统辅助线证明法求解平面几何和立体几何问题[脱单doge]以前读书的时候被这些题目搞到差点怀疑人生

橙橙_Archon:
平面几何的大厦已经建成，后世的人只需要做一些小修小补的工作即可[doge]

【回复】21世纪中 各种理论如雨后春笋一般涌出[doge][doge]
GrannyTranny:
吴文俊老先生早就创造了一套纯机械的方法解决平面几何问题。

【回复】其实解析法硬算可以解决90%以上的平面几何问题
蓝色热狗:
平面几何如果只能用纯几何法做很多人二试爆0

【回复】确实，很多不搞竞赛的同学加试就做一道题，用解析法做平面几何
trace2024:
1平面几何在初中学习非常有意义，锻炼学生逻辑思维空间思维能力。 2高中不应该学了高考不应该考了，这个已经做到了。 3联赛冬令营IMO不应该再考在现代数学中没有什么用的平面几何了。4中学竞赛应该加一些大学生低年级数学一元微积分矩阵复变函数等。

袋鼠学爱好者:
针对第一点，我认为平面几何的学习有利于创造新的平面几何问题，但是解析法只能解决问题，想通过解析法创造新问题比较困难

Trueamy:
归根到底其实是因为IMO要考，而数学竞赛是为了国家队选拔服务的。 至于IMO为什么要考这些，那就要问老美了。

【回复】我觉得IMO的题都没什么意义，应该专注于微积分和线性代数这些及能培养数学思维，又会用一辈子的数学基础
【回复】中学竞赛命题方向最早似乎是欧洲国家确定的，况且最初imo也没有美国
【回复】我认为imo命题的目的是初等数学的思维游戏
donk333:
平面几何算是现代数学的基石之一了，向量，微分这种都是源自平面几何，它带来的价值源远流长，只不过不能再产生新价值了。不过从优美性上来说，平面纯几何当之无愧

【回复】可是数学竞赛都不考这些有趣的数学基础，考的都是枯燥没有意义的几何题，我到认为高中应该关注于学生对于微积分的掌握和理解
lzcsl:
平面幾何的定義是什麼[doge]平面上的曲線流是不是平面幾何[脱单doge]

【回复】我这里说的是传统的平面几何，就是用直线和圆这种最一般的有限个几何对象的问题
dxcharlary:
其实不止平面几何，现代数学中大部分初等数学都没有太大的意义。

【回复】回复 @洛琪希真可爱 :用丘成桐的话说，现代数学有两大支柱，一个是微积分一个是线性代数。而这两个支柱使用的思维泛式和初等数学是完全不同的。所以那些希望用奥数来培养数学思维的，基本都是在扯淡
【回复】回复 @洛琪希真可爱 :有很多难题看着是个初等数学难题，但实际上并不是初等数学问题，比如歌德巴赫猜想。我觉得你说的所谓初等数学难题都是这种。现在初等方法能够解决的问题是有确定范围的，不存在你说的初等数学难题。因为初等方法是有限的，其组合也是有限的，这些有限的组合对于计算机来说并不是问题。
【回复】回复 @洛琪希真可爱 :嗯，奥赛作为中小学拓展思维能力和对智力的筛选方式还是很好的。另外，现在国二以上才能保送，所以保送的概率已经基本为零。
绿衣素荣的橘子:
说说我的感受[doge] 1.文案写的好，为我们这种数学教育落后第一地区的中学生（粤北山区）提供了很好的关于数竞和大学/研究生数学的观点，虽短但精悍。非常喜欢[呲牙] 2.感觉数竞的普及性对咱们这些落后地区没啥意义[笑哭]，没氛围，没资源，心酸 3.喜欢up的内容，但声音有点怪怪的感觉（僵硬？）

【回复】同粤北山区，但是已经跑去更远的地方了[给心心]
天上之河:
平面几何的一个价值，就是能导出各种函数与方程，考验函数分析和方程求解能力，使得代数不再那么枯燥，压缩闭门造车的空间。

皮皮娘丷:
能不能用平面几何计算椭圆双曲线抛物线问题

【回复】完全可以，这是阿波罗尼奥斯就做了的工作，个人认为这才是最纯正的几何（时代：古希腊时代），所谓的解析法也是差不多1500多年后出现的。个人认为平几在现代研究没有意义的根因是几乎已经被研究完，就像古典物理学之于今天物理研究一般，纯粹只是时代问题罢了。
【回复】阿波罗尼奥斯很久之前就用纯几何把这圆锥曲线研究透了，这点高中数学书上有说
【回复】回复 @皮皮娘丷 :可以拜读几何原本，圆锥曲线论，自然三大历史经典
樓下保安:
但是现在平面几何在中学占的比例也太高了。

【回复】主要是初中占比高，到高中，除了立体几何第一问进行简单的几何证明外，其他题目基本上都是解析法做的
丿胡哥胡不胡丶:
有阿尔法狗了为什么还有人下围棋[doge]

【回复】找愚蠢呗，它能告诉棋手，哪一步是臭棋，哪一步是昏招。。