【深夜数学电台】戴德金分割构造无理数（助眠向）

河畔垂柳:
其实感觉因为发现根号二不是有理数，使得数轴上产生了空隙，于是把空隙定义成了一个数。类似的，我们发现自然数中间是有空隙的，比如1.5在1和2之间，我们也可以把数轴定义成自然数和非自然数，只是给自然数分化的非自然数有无穷无尽，比如若分割1，2之间的非自然数有1.1，1.2，1.7…。而分割有理数的无理数却是唯一的，无理数能否再分割成更小的分类其实没有谈到。数轴上是否不存在无理数和有理数之外的数我们不知道。这个戴德金定理似乎有些循环论证，由于发现了有理数外的空隙，所以我就把空隙定义成有理点的补集。然后证明因为空隙都填上了，所以怎么切都能切到数（点或者是空隙）。不知证明的目的是什么？请up主赐教

【回复】其实我没太看明白你的问题。不过你说的从自然数到整数再到有理数再到无理数的过程大致是如此的。另外戴德金分割并不是一种证明，它只是提供了一个实数模型，这个模型符合我们对于实数的预期和理解，同时也可以认为给了实数一个分析上的定义，就是这样。不知道是不是你想要的回答。
【回复】我也这么感觉。在找答案。如果假设砍实数轴，砍空了，会怎样？戴德金对实数的定义，让砍空不可能。因为你一砍，他就说你砍到了实数。假设我想说，我如果假设砍到的不是实数，会是什么？这是我想问的。如果我砍到的不是实数，它的左右会是什么？那么，左边至少有个实数，右边也至少有个实数。这就导致它们中间有个实数。所以，假设不成立。
阿尔托莉雅の数学喵:
作为一个数学分析的初学者，我觉得up可以专门更新一些课程而不是科普[笑哭]，戴德金分割还是蛮硬核的

Kasaki伞木:
结果我还是觉得这戴德金定理的证明过程纯属多余，最后还是一句“但是……不可能小于A中的任何数”，不就是把想证明的内容理所当然地说了出来吗[疑惑]

【回复】我觉得想明白戴德金分隔，得先把高中学的各种实数的性质给忘掉先
eightSnow:
凌晨2点多看，越看越精神，最后还爬起来证明一下[无语]

【回复】不，不用了，up主做好的视频就能让我感到快乐了
罗马苏丹:
up，第三种分割确定的间隙（无理数）如何保证他是唯一的？ 与其说间隙是一个数，倒更像一个能产生该分划的所有数的集合。 我看还有人用实数的稠密性证明这个间隙是唯一的。但证明 实数稠密 用了实数大小的定义,而实数大小定义已经默认了间隙是一个数...

【回复】回复 @罗马苏丹 :戴德金分割是否确定唯一无理数可以不去考虑，因为只要认为一个分割已经产生了一个无理数（不考虑是否唯一），这个时候已经可以去证明实数的完备性了，比如比如Cauchy、闭区间套、有限覆盖之类。既然已经确定了这样做可以具有完备性（而这就是我们需要的），这个无理数是否唯一书上自然就不去考虑了。
【回复】回复 @Alchemy_Stars :好吧，但我看书后续没有讨论这个唯一性。现在又有新的问题：我找到了新的解释大意是，【不将现有的实数与分割一一对应，而是直接将分割构成的集合叫做实数，自然讨论一个分割对应的无理数是否唯一就没必要了，因为它相对自身自然是唯一的】。 问题来了，唯一性是究竟不需要证，还是能证明，但目前阶段没有说呢？
【回复】唯一性不在最开始的时候判定，最开始的分割只在乎可以确定一个非有理数这一事实，不在乎到底产生了多少非有理数，唯一性在之后才讨论。
钉钉有担当:
谢谢up主，今早上的第一节数分脑子都是懵的

说好一起偷太阳:
第三种集合，就是用根号2划分的，如何表明你这样划分正好把所有的有理数都划分到这两个集合里了呢？

【回复】回复 @Alchemy_Stars :您好，用根号2我理解了，因为特别好证明根号2不是有理数（我这样说是认为因为在戴德金划分的时候其实是正在引入无理数的概念，这个时候先不能说根号2是无理数，不知道我这样说是否正确）。那这个时候就如你所说了。那如果我切分的时候切到π了呢？π是无理数可是很难证明的
【回复】回复 @吊死那只包子 :根号二只是一个例子而已，为了说明对有理数的分划会产生三种情况，而不是为了具体地讨论对于某个特定的数，它到底会产生怎样的分划这个问题，你说的是另一个问题了。
【回复】回复 @吊死那只包子 :主要是有个点你得想通了，不是正好这个分划把有理数分到这两个集合，而是任何一个有理数要么它的平方比2大，要么它的平方比2小，平方大于2的就去上组，小于2的就去下组，自然地就把所有有理数给分开了。
小小小沙发:
戴德金定理证明部分，那个引理的证明部分不太懂，为什么两个实数之间一定存在有理数，而不是全部都是无理数呢？

【回复】因为那个划分分的是有理数，然后又是真包含（作者应该打漏了，相等的话就是第一种情况了）所以一定有一个元素只有A有，然后元素又都是有理数
白麟燃烧弹:
Up，我真的想听这个睡觉，有机会可以录个语气柔和的吗哈哈哈哈哈哈哈哈哈，失眠太难了

【回复】。。。把声音调小一点[喜极而泣]
此用户已经闭关了:
up主，17:50那，下组有最大值，上组有最小值①应该不用证明了吧，这种情况不属于分划了，分划的条件之一：每个有理数要么在上组，要么在下组。如果存在①，那么中间的有理数，不属于上组，也不属于下组，好像用到了有理数稠密性，好吧。

Porpoiseist:
up主可以证明一下视频中13分21秒处那个上组没有最小值么？我找了很多方法还是没证出来[笑哭][笑哭][笑哭]@Alchemy_Stars

【回复】用反证法。假设上组中有最小的有理数r0，应有1<r0，否则r0就归为下组。再考虑有理数(1+r0)/2，显然1<(1+r0)/2<r0，因为1<(1+r0)/2，所以(1+r0)/2属于上组，但是(1+r0)/2<r0，这与r0是上组最小有理数矛盾。
【回复】回复 @Porpoiseist :没事，祝你学习顺利。
【回复】回复 @Alchemy_Stars :原来是这样的，我知道自己哪里出问题了，谢谢UP主啦[微笑][微笑][微笑]
bili_52855723993:
这位观众你好，你是第一个给我的视频进行评论的观众。如果你不介意的话，我想给你发一个新年红包祝你新年快乐~[滑稽][滑稽][滑稽]

Unconcious-AJAX:
up15:41放缩有误，这个放缩成立的前提是n方分之一小于n分之一，但这是不一定的，因为只规定n>0如果n取0.1放缩显然不成立

【回复】n是取自然数啊，应该说明了吧
尚未获取名称:
就是说因为上类无最小的有理数下类也无最大的有理数，但是分割却由某个数产生，然后将这某个数定义为了无理数对吧

【回复】直观上可以这么认为。但是本质上，戴德金分割构造实数或者说定义实数模型的目的是为了让实数集有完备性这个性质。还有用极限方法定义的实数模型，也只是考虑了完备性的另一种等价表述。所以直观上可以认为把数轴的空定义为无理数，但是最重要的其实是完备性这个看不见的概念。