“皮亚诺曲线”是什么？用一根线填满正方形，它是一维还是二维？

取名取了半小时:
一维初期，一维中期，一维后期，一维巅峰，半步二维[星星眼]

【回复】第2954章：一维无敌 第2955章：二维来敌
【回复】两位十一维大能打到大道都磨灭了
【回复】回复 @詩酒年華與君 :第∞回:整数维无敌。 第∞+1回:分数维找茬！ 第√2倍∞回:无理数维度来犯！ 第i（虚数单位）回:异世界入侵！ 第“不存在的数”维:总之就是遇上麻烦了[偷笑]
青椒果冻:
皮亚诺曲线实际上是自相交的，取极限之后会在每个小正方形的边界上出现自相交。 任何填满正方形的曲线都是自相交的

【回复】额，其实犯了一个错误，就是你误以为数学中的“直线”是有宽度的，所以会得出这个结论
【回复】回复 @丿Pot灬清风丶 :然而你学过拓扑会发现层主说的是个定理，假如不自相交的话这就是个线段到正方形的homeomorphism了，但两者拓扑性质不同显然不可能
【回复】回复 @awaawaaaw :台湾高中不学微积分？真幸福啊
灼眼シャナ:
呃，感觉在直线可以改变方向的那一瞬间其实就已经抽象的“进入”二维了，就像同理，你也可以把一个二维的面竖起来同样用这种方式去构建一个伪三维，但是在可以弯曲的那一刻就已经有了抽象的三维概念，长宽高都有了[傲娇]

【回复】一维只有一个维度,打比方只有一个x轴,那么你朝除了这个x轴的方向的其他任意方向曲折直线,就相当于新创造了一个y轴,就已经进入了二维 即使把曲折的线当成一维讨论也不对,这条直线是无限曲折下去的,但它覆盖的正方形这个面却是有限的,我们讨论一维的线既然是无限长,那二维的面也应该是无限大.但线没有面积,它就要无限的去填补里面的缝隙,所以线组成的正方形应该相当于是无限小的,对于无限大的面,这个"正方形"其实就相当于一个点.甚至降维了[笑哭],所以说就不应该这么讨论,最开始的前提就像楼主说的一样已经错了,说这个曲折的线覆盖二维的面更是瞎扯淡
【回复】回复 @干练的四季戟 :这一番理解颇有农民在地里干着活想象皇帝是用金锄头还是银锄头那味了[吃瓜]
暗冰心:
理论上讲啊，理论上的直线确实是无限长度的。可直线它不是还有一个特点是没有宽度吗？一个没有宽度的东西真的能通过折叠铺满平面吗？[doge]

【回复】有没有这么一种可能。首先这确实是线，宽度真的为0。 但是你取任意一个点，这个点恰好都在这个线上。 那么如果平面内所有点都在这个线上，是否可以说这个线“铺满了”平面？
【回复】数学上有个常识，就是当一个东西和“无穷大”扯上关系性质就会变。希望你能理解[笑]
【回复】无数个无穷小并不＝无穷小
FrostEmmett:
好多人自认为比专门研究这个的数学家懂[微笑]

【回复】回复 @Siroet :质疑的前提是你能完全理解别人说的是什么，并且有足够的水平指出理论中的错误、反例、或给出证明。否则你的质疑仅仅是“我觉得“而已，没有任何价值。
【回复】狂妄自大固然不好；但有些人不懂也不问，还喜欢捂其他人嘴也是错误态度。
【回复】一句话道破了评论区现状[OK]
Voldemort啃大瓜:
首先一维是一条只有长度没有宽度的线。所以不管怎么折，它都无法变成一个面。

【回复】本质上和0.9999循环还等于1一个问题，大一会学的。
【回复】那么如果取平面上任意一个点都在这条线上呢？
【回复】回复 @修野不野 :像视频里一样，直线向内凹陷折叠，无限折叠后，覆盖成一块“正方形”，“正方形”里任一点都处于这条线上
过180万:
对不起，我有罪，看着科普视频还被一秒爆衣给吸引过去了

【回复】每个人根据用户习惯，推荐的视频也不一样
DYRofficial:
想了解分形的话，可以看妈咪说做的专题，这学科反常识，几分钟说不清楚的

【回复】回复 @zhukegai : 哦，在图像压缩上就用上了分形几何的理论，而且只能利用这个。毕竟想压缩又不过于丢失细节，应该只有分型概念做成的算法才能解决。
【回复】回复 @zhukegai : 别的不说，这条曲线或许能改善FDM式3d打印的结构强度存在各向异性的问题，前提是FDM打印机能适当进行垂直打印。 退一步讲，即使无法增强各层之间的抗剪切力，就我的观察，也能改善单层在垂直于于平面方向的各向强度差异，也能适当改善因为填充太多导致的翘边和收缩不均匀等问题。
【回复】回复 @zhukegai :分形几何可以作为非线性动力系统李雅普诺夫稳定性分析延伸的理论基础，换句话说，帮三体人算纪元。
账号已注销:
直线无限折叠本身不就创造y轴了吗，不如说直线都折叠了不该定义为两条直线相交吗，以此类推不就是直线堆成平面吗。。。

【回复】回复 @渥攃磊 : 这就是逻辑误导，维度其实就是坐标轴，一维之所以公认是一条直线，只要变成曲线那就是二维，你在纸上画出一个正方形线框，你能说它是一维图像嘛？按视频逻辑，正方形线框就是一维图像，因为正方形线框每条线，都是在自己坐标轴唯一一条直线，你画成线框立方体，这时候你还能说它是三维嘛？不能，按视频逻辑，也是一维图像，得，直接维度理论崩塌。所以，维度复杂叠加态理论没错，但不是一维，一条直线只要有高度，它就是二维理论是正确的，同是一维的情况下，请问，那个曲线，怎么定义？确定他曲线的参数是否用到了第二个坐标轴，这才是问题根本。1-100不管任何方向，他都是一条直线，一条曲线那就是（1，1）-（1，100）-（101，100），如果你抛弃了后面那条线或者前面那条线，请擦除它，那这个时候，它还是一维的
【回复】这个理论里它只讨论了线自身的坐标系只有前后，但有没有一种可能，线所在的位置本身就处于另一个坐标系中，那么他自然会受另一个坐标系的影响，举个例子，天上的水珠是个点，当他变成雨滴开始下落时，轨迹就形成了线，但他本身也受另一个坐标系影响，比如重力方向，由此雨滴开始加速，只是从他自身的所谓前后的坐标系来看压根看不出来，但当外界坐标系变动时，他所谓的线自然就不成立了。说回理论，按这理论，线能通过这种方式在面的坐标系里变成面，那面自然可以在三维立方体的坐标系里按照这种理论变成体，那你能说由线折叠变成体吗？那都不能摆脱外在坐标系的影响，得出的结论最好的情况也只是在那个坐标系中成立，但凡换一个坐标系就狗屁不是。
【回复】问题是你无法在三维折叠出四维，就是说你所有的维度其实都只是三维，包括一维二维，也只是三维角度的一维二维
半条人命:
中间的橙线上永远只有一个点，蓝线上永远只有3个点，绿线上永远只有两个点，还有其他线条上永远只会有有限个点，例如从上往下1/4处，应该是4个点，1/8处8个点，1/16处16个点；左右1/8处，1/16处应该也是有限个点。 最明显就是中间对称轴上永远只有一个点，第n次也只会有一个点，中间这条线上的点，除了中间偏上那一个点，其他点永远不会被经过。

【回复】回复 @半条人命 :你没发现这条线在干一样的事吗[脱单doge]
【回复】考你一道小学奥数题。 1/2+1/4+1/8……这样无限加下去，最后等于多少？
【回复】可以学习一下极限的知识
一朵名叫小fa的小花:
没有厚度的线无论多长，都是面的无限分之一。哪怕线的长度就是无限，但1单位的长与宽都会大于它的存在。[吃瓜]

【回复】这就是bug的存在： 一个面里有无数个没有面积的“点”，一条线可以穿过无数个点。 那么如果一条线在不与自己相交的情况下穿过了一个面内所有的无数个点，我们是不是可以把这个面和这条线等同起来？[吃瓜]
【回复】数学上有个常识，就是当一个东西和“无穷大”扯上关系性质就会变。希望你能理解[笑]
【回复】是的，所以皮亚诺曲线诡异就诡异在人的直觉会觉得它是有面积的，因为面上任意点都在皮亚诺曲线上，所以才搞出了分形纬度的概念
雨落江离:
纬度是方向吧。当直线弯折具有第二方向的时候就已经是二维了

【回复】你是站在高维角度才会认为有多个方向，而对于这个一维曲线之内，只有前后两个方向。就像一个二维球面，在二维球面只有前后左右，但你在三维看球面就会看到上下这个方向
【回复】回复 @墨落千醉 :有没有可能曲度本身就已经是二维了
I_am_legned:
数学讲线是没有粗细的，所以也就没有面积。估计是因为画线的笔挺粗给他整出错觉了[doge]

【回复】希尔伯特曲线的定义是要取极限的，本质是建立二维到一维的映射关系，不能凭直觉认为有限条件下不满就类推到无限条件下不满
【回复】回复 @兔子的玩具罢了 :《应该》《意淫》
【回复】点也没有面积，为什么可以组成线和面？[doge]
必言非:
偷偷告诉你，一根线你根本看不见，那个所谓的线还是一个面

【回复】回复 @某科学的玲科 :“线”是“体”，一维=三维，太典了
【回复】回复 @三下浪人 :你都不看我是回复的谁，加引号的直线是指什么的，属于很会理解了
松香桃木:
实际上一维线是不可视的 为了人们理解，所以一般会设置宽度，变为可视的二维线条 一维线哪怕充满一整个正方体，理论上都是透明的，不可视的 但是如果我用绳子填充箱子，同样能算出是三维，因为绳子有体积，本身就是三维 同样，视频演示的线条本身就是二维的，所以算出来也是二维 因为有宽度，哪怕几个像素点也是有宽度

【回复】emm……但说皮亚诺曲线是二维的，不是因为把它画出来之后看起来填满了，而是因为那个原本的一维的线，当它无限次迭代之后，你在正方形里任取一个点，它都在皮亚诺曲线上。跟无限沾边的东西一般都挺玄乎
【回复】回复 @凝子介层 :从我前面的例子可以知道 不管怎么折叠，皮诺亚曲线中都是存在间隙的 间隙无限接近0，但是不可能被消除 我可以说正方形的每一点都在线上， 同样我也可以说正方形的每一点都在间隙上
【回复】我觉得你俩跑题了。就算在其他数学体系里确实有无穷大参与计算（集合论、射影几何等），标准分析的大部分实数定义也必须引入实无穷（柯西列、戴德金分割等），甚至部分教学中会把正无穷和负无穷扩充进实数集，但这并不影响标准分析里不认为无穷大是一个可以参与计算的 实数，同样也不认为无穷小是一个可以参与计算的实数。标准分析的所有极限相关定义都是用潜无穷的语言描述的。 就拿lim x(x→0+)=0举例。它指的是∀ε>0, ョδ>0, 满足∀0<x<δ, L=0, |x-L|<ε，这里并没有任何实无穷。标准分析里，由于实数的定义，这个等号是严格相等的。皮亚诺曲线也是这样的极限，因此它会自己和自己相交（视频讲的完全错误），同时正方形上的所有点都能找到曲线上至少一点与之对应。 如果你说你写的x(x→0+)如果不是极限的话，按我的理解它就是所有满足n→+∞时x_n→0+序列的集合，那二者确实不相等，应该写作x(x→0+)⫋0，前者是后者的真子集，因为实数可以被看作是柯西列的等价类。
游蝶花之舞:
这年头还有人在纠结1.999...和2是不是同一个数[辣眼睛]

完全無法理解:
或許數學科普的難點在於將較為抽象的邏輯轉化為自然語言表達會帶來的缺失，比如線或面積這些根深蒂固的概念 假如一個科普直接這樣闡述：將fn:【0,1】→【0,1】×【0,1】，f0定義為x→(x,1/2)，再定義f1、f2...，然後藉由“每個點(x,y)都存在p使得fk(p)序列趨於(x,y)”證明滿射，再藉由一些別的定理證明其連續，在證明完成後還得以別的概念說明維度性質，比如如果用流形的定義，那便是二維，因為流形維度只考慮空間，不考慮是否為某個函數的像。這樣科普無疑是拒大部分人於門外的... 但如果類似up這樣描述，便很容易出現由語言帶來的誤區，也挺頭疼 科普任重道遠啊，我是整不明白了，以前老師也說教別人數學是比學數學更困難的事( ´_ゝ｀)

【回复】回复 @完全無法理解 :我回复那么多纯粹就是闲的（
【回复】回覆 @瓶装史莱姆 :是這樣的，假如現代數學的邏輯與自然語言相近的話，也不至於最近幾百年才有極限或集合的完整定義 然後，你也沒必要費力在每個質疑的評論下回應，畢竟對這東西做到準確的完整理解，起碼要用到均勻收歛的概念，挺難的
【回复】主要的麻烦就是数学语言太严谨而自然语言太不严谨了，有很多概念是建立在巨量定义和逻辑推理基础上的
某不科学的一条咸鱼丶:
我在想假如正方形的边长不断向内对折，无限接近圆，圆的面积周长是不是就等于1了

【回复】这是一个经典问题，本质是“无穷多个无穷小相加并不一定是无穷小”
【回复】经典问题，学极限的时候应该都讲过