【官方双语】为什么正态分布里会有一个π？（不止是积分技巧）

MisakaVan昊:
大学生看到这半夜爬起来接着复习数学分析了 思考题的作业，个人解答如下：

【回复】我得了看见三行以上的式子就会似的病😇
【回复】重积分，延拓，工数学渣可见不得这些，举办了
【回复】回复 @共苦清秋风露 :交大的人说985多少带点贬低了[doge]前四乃至前十的学校都不太会说是985，毕竟985整体有三十多所
雨落--流殇:
π和e真是每次看到它们都会给我一种震撼（各种意义上的）

【回复】一个公式有π代表着这个公式一定在某些情况下与圆和周期有关。 一个公式有e代表这个公式一定在某些地方与指数增长和指数下降有关。 这两者都是组成这个世界最常见的数字之一。你到处都能看见圆形和周期运动，你到处都能看到指数增长和指数衰减.....确实震撼
【回复】给我的震撼一般而言在于，这道题分没了
【回复】回复 @你吃猪了吗 :ln和e一个意义，取log就是在找增长率的关系
芳文社副社长:
为什么人口和π有关系？ 因为人口在地球上，地球是圆的，圆就是π[墨镜][墨镜][墨镜]

【回复】楼上三个都给我进去！[藏狐]
Vutoc:
感觉e 和 pi 的大量出现并不是巧合，而是人类理解能力的局限性导致的。 人们大量使用强对称性，导致了pi 的大量出现； 人们大量使用不超过4阶的运算（即自增、加法、乘法、指数），导致了e 的大量出现。

【回复】说白了，因为圆有无数条对称轴，所以用到π，因为e的x次导数是他自己，所以用到e
【回复】回复 @-无观- :对的，如果这个问题有其他非人类的理解方式，他们也能找到一些在他们的数学体系中经常出现的常数或者算符来表达正态分布
【回复】回复 @Vutoc :挺想想象到从另外一些非人类角度找到的对称性是用哪些我们从来没尝试过的方式表达的，这些差异可能比碳基生命跟信息生命或更多生命的存在形式之间的差别还大。
bili_official:
正态分布里会有一个π，是因为它的归一化积分区域是一个无穷大的圆。正态分布的概率密度函数要满足在整个实数域上的积分值为1，所以前面的系数里面会出现π。这个系数可以通过计算泊松积分得到。

【回复】回复 @得你个当 :我其实什么都不懂，我问bing的（
【回复】回复 @bili_official :可爱的bing小姐无所不能，是我老婆[doge]
ErH_杋糖:
做了一下最后的小挑战，part 1 秒杀，part 2 秒杀，part 3 稍稍算了一下秒杀，part 4 秒杀，高维球的体积就出来了！真的把我爽到了 我以为我毕业多年的数学水平会应付不来，结果其实真的没那么难，却解决了我以前学生时代的一大疑问，高维球体积。当年想算的时候无从下手，网上一搜，出来结果里那个叫人敬畏的 gamma 函数直接让我再无半点非分之想，结果今天算出来了，快感真的拉满

【回复】当年上高数，因为疫情在线上的一个学期，老师直接把高维球的表面积和体积作为作业留给所有人了，后来还讲解了[妙啊]。
【回复】伽马函数求n纬球的体积通项公式，之前教授给我的一个题。
【回复】最后算的是表面积啦ww不过知道了表面积体积只要积分一下就出来了
寒冰射手加火盆:
个人从文学角度理解： π代表了极致的对称，e代表了不变的永恒 哪个函数有对应性质，表达式就要带上他们 太美妙了

【回复】翻译过来就是π说明存在到某个圆的映射，e说明微分算子下某些量不变，涉及这两个量的关系，大多是二维及以上平面，同时可能涉及复变函数的讨论
【回复】回复 @Ollaic鱼淦 :复变函数里面这π与e确实很多，可以说是无处不在，不过书上说复变里面那个e一般代表的是复指数函数exp而并非真正“乘方”的含义（虽然我觉得这两者之间肯定有些什么联系） 学过电路相关知识后，对复数的理解又变深了，比如说相量就可以看成频域中描述波动的量，连接时频的又是积分变换 有一种观点认为，宇宙就是由各种波动构成的，而要描述波动就得使用复数，π和e又与复数这块有着千丝万缕的联系，这种观点与楼主的想法是否不谋而合了呢？ 本人大一，工科生，理科浅尝辄止，欢迎指正或补充[给心心]
【回复】外星人要是也有数学怕不是也得用
平宁152:
关于最后n维球的体积，我们教材上有个比较简单的证明[打call]

【回复】数归有一个致命的缺陷就是你得先知道答案，其实不利于理解背后的原理
【回复】回复 @a_sad_soul :南开的数分
【回复】马上高考了，学长祝我上岸南开数学[脱单doge]
竖琴即世界:
当时大二概统课结课论文突发奇想用卷积定理和傅立叶变换从中心极限定理导出了正态分布

【回复】当时大概的思路是:先考虑最简单的Galton钉板，之后取极限连续化就行。其中取极限之前的概率密度算出来是n个函数卷积的形式，为方便计算傅里叶变换转频域上算乘法取n无穷的极限，得到的微分方程求解就得了正态分布。正态分布傅里叶正逆变换都是正态分布，最后归一化啥的。正态分布函数形式对中心极限定理的普适性有很多概统书会介绍。
【回复】我在想，是不是有点循环了。中心极限用正态分布证的。（公理框架下等价了
【回复】回复 @健康来 : 对的，但是不看参考答案给出严谨证明在学生里也很强了。
蛋Dam:
6:46的求体积完全可以用大一都会的旋转体体积

Pai_daX:
我觉得这是一种缘分[doge]我是高一的时候从滑块碰撞计算π的那个视频入坑的，当时很有兴趣，奈何能力不够。当时还看了很多额外的，也是兴趣浓厚，无能为力。后面就完全忘了这个频道了。我现在大一了，tm就上周末，我和别人闲聊的时候突然想起来那个问题，真的就很巧，然后这周我就一直在刷原来的那几个视频，现在发现我基本上一边多就能领悟，这周一我还把滑块的那题专门写下来做完了。然后今天，几个月没更新的3b1b复活了[脱单doge][脱单doge]挺巧的

【回复】高三的时候在草稿纸上算滑块，大一的时候用C语言写程序算碰撞次数，大二的时候写matlab可视化碰撞，大三准备直接上manim了[妙啊]
【回复】高中的时候算那个滑块，写了些表达式，然后理解不了😂
【回复】同，几年前看过那个视频，很奇怪为什么会出现π的数值
oidasama:
我原本期待看这个助眠，结果越看越精神

【回复】是的。符合直觉的简洁之美，谁看了都会产生兴趣吧[害羞]
【回复】一样，本来想找个睡前视频，结果看这个停不下来了
灾厄少女HDE:
好家伙，看完眼见为识这边更是重量级

【回复】哈哈，看来粉丝都是同一批
【回复】都是同一批观众哈哈哈[喜欢]
hgkj:
可以认为pi沟通了两个相邻的维度？ 直径是一维的 而圆所嵌入的空间是二维的 要看到圆就必须上升一个维度。描述直径和圆的简单标量关系的就是pi。所谓只要涉及到径向的对称性 来描述高一维空间的场合 就会有pi。中心极限说的是关于中心位置的对称性 是一维射线 到曲线下面积就是二维了。

【回复】正态分布等于是将二维空间的位置对概率的影响简化到一维距离对概率的影响，这里降维升维之间就出现了pi
【回复】周长和半径的比值，你说呢，和加速度一个原理
【回复】回复 @哒哒哒XD : 转换成极坐标系应该就要用到了 把x，y转成r，θ
xp_orb:
作为一个咸鱼高中牲,看这视频的时候满脑子的“前面的知识,以后再来探索吧”[doge]

【回复】回复 @咩咩_忍 :发现物语厨( ゜- ゜)つロ
【回复】回复 @NoirHue : 王源剩太多导致的
机智的新青年:
考研复习累的时候看3b1b的线代和概率论视频真的很有用。这个视频能很直观的帮助理解概率论里的正态分布