国际奥数史上最为传奇的题目，曾难道众多大咖！

IPDO金牌:
这个叫无穷递降法。那些数学家短时间试着做罢了，不可能想不到的，无穷递降法是费马时期就有的，经典，有效。

【回复】有个数学家会议上让大家一起做这题，只有潘承洞(还是潘承彪?)很快做出来了。初等数论的技巧与现代数论相去甚远，让没有专门训练过的数学家很长时间想不到是很正常的
Apeiron_Official:
中科大数学分析的第一章第一节的思考题，当时就给我人整懵了

【回复】我只做习题练习，基本不看问题那部分，完全不是一个档次的题
5要7糖bu给9哭:
这题最漂亮的是无穷递降。。当年这个解法好像给了个特别奖，并且也是这年的一个亮点（另外一个亮点是11岁的陶哲轩拿了金牌）

Hinata_Aoi:
那么是不是可以说：不仅有p为完全平方数，而且只能是p=b^2且a=b^3，或者p=a^2且b=a^3？

【回复】我又想了一下：对于给定的p（注意），我说的这个解（即(a,b) = (b^3,b)或(a,a^3)）只是a+b为最小的那个特解。 不过可以证明：(a,b)的通解(a(i), b(i))必满足（不妨设a小于等于b，a大于b则a,b对调）(a(i), b(i)) = (b(i-1), (b(i-1)^2-p)/a(i-1))，其中(a(0),b(0))为上面那个最小特解。 即逆用视频中的无穷递降法。 证明过程基本和视频中的一样，只需提三点： 1. a+b为最小的特解只能是上面这种 2. 视频中的a0大于等于b0且a1=(b0^2-p)/a0可以推出a1小于b0 3. 因此对于任意解(a,b)，使用无穷递降最终都会化为上述特解，并且每递降一步都会改变a,b的大小顺序 具体细节评论区这里真写不了了，不能打大于小于号真的烦。。。[灵魂出窍]
【回复】证明这个是满足题设的唯一集，就不需要反证了
【回复】回复 @Hinata_Aoi :你说的这个对，其实就是构造证明，其他做出来的选手应该就是这种构造出来的，这种方法和韦达跳跃的区别是，韦达跳跃是更一般性构造。
御坂00081:
其实视频里的证明还不完全。他只证明了对应于a0,b0的p0是完全平方数，对于其他的p是否是平方数并没有给出证明。猜想p0的情况就是唯一的情况从而题目正确，但我始终找不到合理的证明。关于p是正整数的ab的条件，望大神给出解答。

【回复】逻辑是，如果存在正整数p非完全平方数。那么对于p就有对应的解(a,b), 这些解有对应指定条件最小性的(a_0,b_0),是先有p，再通过p找的(a_0,b_0),而不是先有(a_0,b_0)在确定p，逻辑别反了。证明是完全没有问题的。
【回复】回复 @哆嗒数学网 :对的，我理解错了
【回复】你这逻辑是压根没看懂反证法
藤原豆腐店自家用:
假设p不是完全平方数，通过推理同时证明命题1"a0+b0为最小正整数解"，和命题2“a1＋b0为正整数解”成立，两命题矛盾则假设不成立，证毕。 以上才是反证的正确过程，视频里没有通过假设推理出命题1，而是无中生的做出第二次假设（命题1成立），推理过程又没有用到假设2，最终由假设1独立做出的推理结果与假设2矛盾，而推翻假设1，显然在混淆视听。

【回复】回复 @藤原豆腐店自家用 :首先最小的存在，满足a+b最小的(a,b)存在，既然存在，就可以假设这个最早a_0+b_0，但是通过这个(a_0,b_0) 我们找到了(a_1,b0)同样满足方程。但是a1+b_0更小，这是一个矛盾。 无穷递降法的基本技巧，建议好好找点资料看看。只要玩过一次，这个逻辑很容易懂的。
【回复】显然，你没看懂。利用的是正整数的任何集合，都有最小值，所以，满足条件的a0+b0是存在的。然后利用这个的存在，推矛盾。
我是漫雨:
特地查询了下，87年的题目，真题没有p这个字母

【回复】我也特意查了下，发现：第一，这是88年的题目，第二，题目中有p，在单词positive里。要看英文原版题目。
加藤うみ:
只有a³=b才能整除，当然反过来也行，原式=(a²+a⁶)/(1+a⁴)=a²

【回复】回复 @加藤うみ :是的，通解可以通过逆着用视频中的递降得到[tv_点赞]
【回复】回复 @哆嗒数学网 :没想到还挺多的，n和n³可以，n³又和n⁵-n可以，n⁵-n又和n⁷-2n³可以，n⁷-2n³又和n⁹-3n⁵+n可以，n⁹-3n⁵+n又和n¹¹-4n⁷+3n³可以。
提书克:
初中学渣认为：假设a=b=1，∴p=1，±1的平方等于1，所以正确[doge]

赵飛飞:
建议这个字幕不要哝这么多花哨的东西，简单给出就好，更多关注内容

【回复】有名的题还是有必要给背景的
玻色子or费米子:
请问假设中的p不是完全平方数与a0+b0是最小的整数解有什么关系？a0+b0这一最小正整数解似乎并不影响p是完全平方数的存在

【回复】反证，假设p不是平方数时方程也有解，正整数组(a，b)有解，就应该有最小解。 然后推导出矛盾 发现最小解不存在 矛盾了 那么应该无解。所以假设是错的，有解的话，p必是平方数。你可能没理清楚
【回复】p是完全平方数的话，找到的a1可能等于零。这样无穷递降做不下去