数学系Vup聊聊如何学好数学——全程干货，照着学光速提分！学霸都不想告诉你的事实！

爱G家の燎原星火:
我数学有一点小天赋，小学的时候第一个解出数学难题就觉得贼满足，小学还学了奥数就非常喜欢这种感觉，遇到难题解不出来就会一直看一直想，解出来后真的超级开心，然后再一看答案，嫩简单，就像发现新大陆一样，如果我比答案简单，那就更开心了，数学真的超级有趣，希望大家也能体会到，成绩不好不要着急，保持着这份热爱，一定会越来越好的

【回复】因为你是正反馈，所以会觉得学得开心，但大多数人都是负反馈，就会痛苦且逃避
【回复】应试确实可能磨灭了一些人的对数学的兴趣，所以很多人会觉得对它表达不满。但是比如高考而言，它的改革带来的变化确实是有目共睹的。今年新一卷22题就是一道很有趣的问题！猫猫还是相信更多人会体会到数学的乐趣喵
【回复】你这只是从做题中获得的满足感，其实跟数学兴趣关系不大的
L1_hydroxide:
少院玩家聊几句： 在数学学习中，学习天赋和学习意识最为重要，应试学习和探究数学乐趣所需天赋点（姑且这么称呼）完全不同，而结果也是很不一样的。在数学学习里不乏每天学习5小时数学的应试高中生被每天花2小时学习数学的探究高中生摁在地上摩擦的事例。而大学理工科是经典的探究型学习，如果沿用应试思维必将被扁得体无完肤。 我闲下来的时候有兴趣就可能随意探究一个问题，有的时候甚至忘记我摸着电子设备qwq，尤其是算到关键时刻。这样能很好地激发我的学习兴趣和进化数学思维。而这是应试学习永远达不到的高度，从而在碾压我的高中同学x（

【回复】这个只能说很少有人会在应试环境下做到。探究对于理解的提升的确很明显（我自己体验过），但是弊端就是这种情况下没有一定的天赋根本没有可能到达很高的高度。虽然不是很想承认天赋的差距，但是有时候靠自己理解想要探究的问题，没有一定的天赋效率是很低的
【回复】对，探索才是数学中最有趣的部分 （当然探索不出来的时候还是很搞的[笑哭]）
【回复】说的非常对！这就是猫猫一定要分成两期的原因！简直是同道中人！至于大学之后的理工科，其实如果只是应对期末考试和考研的话，直接模仿也是很重要的！ 当然，研究生或者博士的话，只靠直接模仿肯定是不行的喵
Vil10n:
挺羡慕能学纯数的，还好看到了最后5分钟，不知道是不是因为放下了稿子放飞自我，还是给耐心的人留下彩蛋。其实高考前都挺喜欢数学的，但是上大学之后学的数学总有一种学不进去的感觉，那些贴近公理的定理证明在我看来难以理解，一方面是确实很抽象很数学，另一方面似乎象征着数学不再和计算与解决问题强相关。明明很多应用问题都可以靠着感觉和其他例题模仿着做出来，却要去抠长篇大论的证明，命题不知道其地位与意义，不知道它承接公理而往下开辟了什么领域，证明也不知道证了什么，最后还没办法说书上证的是错的，自己离开了书也拿不出来自己的。蹉跎了一年，以为自己略有所得，却有一门基础课紧张写错了两道大题就在及格线上飘过……最后遗憾转码[灵魂出窍]

【回复】回复 @封印jh :可能这就是我不适合学数学的原因吧，很多时候我能看那严谨的逻辑证明思路，但是我却很难明白那段思路的终点是什么。就拿个简单一点的来说，欧拉函数和它的定理，它有个用途就是加解密，这么一来我学加解密的时候就知道了，我也能很轻松的理解它的证明；但是有一些定理，比如分析里面那种连续函数的保号性之类的，他们一是看起来就理所当然，却还要用ε-n那种最基础的语言严谨描述，二是证明完了之后也只是为了给一些其他的没那么显然的小结论作证明，很久之后才能搭建比较有意义的结论。那长长的逻辑链条几乎没有尽头，我迟迟看不到它价值变现的时候，这个时候它的证明在我眼里就开始难懂起来了，再简单的定理如果没办法让我看到它的价值我也很难去记住它的证明。因为，我根本不理解它为什么要被特地证明……
【回复】大学有些教材不讲人话，不怎么讲原理和推到，点名线代，国内能学好的都不多，主打的就是应试数学
【回复】数学嘛感觉挺讲求逻辑的，不能有来源不明凭直觉的臆测，所以得有这么多证明吧
Unnamed-Cube:
14:07 事实上 S_k'(n)=kS_{k-1}(n)+B_k（B_k 为伯努利数），当 k 为大于 1 的奇数时 B_k 为 0 从而可以忽略。 具体推导其实就是直接把 S_k(n) 用伯努利数写成多项式然后直接求导，非常的暴力。求教有没有更优雅的做法？

【回复】这确实是一个高等视角的思路！！！但是这道题有更为简单的高中方法证明，读者可以自行尝试喵
【回复】优雅。。。第一次见这个形容
【回复】回复 @某屿- : 优雅这个形容词我觉得很不错
熱しやすく冷めやすい:
个人认为，想要真正的学好数学，不能只靠弄懂和灵机一动。因为随着你掌握的思维和工具越来越多，越来越深，研究的问题也越来越复杂。建立一个完整的工具与思维的框架至关重要。很多时候要做一些系统性的tricky的尝试才能解决问题。（当然你是天赋怪天天硬想就快速内化当我没说，不过我觉得天赋怪也不会选这种不效率的方式[doge]）

【回复】回复 @稻浪花 :如果说题海是只靠做题的学习策略，那么我认为它是低效的，不可取的。正确的策略应该是梳理好你掌握的思维和工具，系统的解决题目，并不断充实你的系统，这个过程能高效的培养你的直感和求解难题的能力。甚至对你的学术研究也有很大帮助。而题海和有体系是没有重要性一说的，前者是一种低效的策略，后者是单独存在没有意义的东西。
【回复】回复 @超高级哀厨 :首先是工具框架的掌握，对于你学的数学知识，一定要完整的记住他，比如一个定理，要好好的掌握它的条件和证明过程。其次是你要把他系统性的记忆起来，一开始可以按着书本得顺序整理记忆。这一部分像文科的背书，做到提到哪个部分就能想出分支下的知识。（其实并不太费时间，内容量比文科少多了，又有较强中间逻辑的记忆辅助）而有一些工具是很有广泛性的，比如方程思维，函数思维，特例思维，特殊与一般思维，部分与整体思维，反证法，数学归纳法，四则运算，求导运算，积分运算，假设性思维。可以单独记忆。另外还有一些心态和习惯的问题，比如写过程要步步为营，思考学习时心态要平稳，体态要端正。保持一个良好的身心状态。遇见直感不能快速解决的问题时，就慢慢的按图索骥寻找办法吧。
【回复】回复 @稻浪花 : 我不太赞成题海战术，一些学生由于天赋，思维悟性以及学习能力不是很高，很容易把数学学死 ，时间一长便把刷题作为学数学的唯一工具，，然后开始一味地追求数量不知道自己刷题的目的到底是什么，不好的这样。
AI视频小助理:
一、如何学好数学，主要介绍了考试取得高分的正确方法，即照葫芦画瓢。同时强调了数学学习的积累和提升之间的关系不同步。 00:01 - 介绍自己的学习经历和背景 01:17 - 大多数观众为了考试取得高分而学数学 02:59 - 数学需要正确的学习方法，才能提升效率和成绩 二、三道数学题，讲解了直接模仿和题干转换两种解题思路，同时提出了刷题、积累解题方法、学会提干转换等三条提高数学成绩的建议。 04:05 - 解题思路:直接模仿和题干转换 04:48 - 直接模仿是学数学必备的重要能力 07:52 - 提升数学成绩的建议:刷题、积累解题方法和提干转换 三、数学刷题的方法，强调了优先刷真题和积累解题方法的重要性，并提倡学会直接模仿和题干转换。 08:11 - 刷题需要注意优先刷真题，保证题目的质量 09:37 - 积累解题方法并直接模仿，做到真正吃透 11:50 - 学会题干转换，提高解题效率 四、将数学题目转化为自己脑中会做的题目难度，以及如何通过类比和转换解决数学问题。同时总结了提升应试成绩的三步方法和学习数学的共通经验。 12:15 - 数学成绩提升难，需要转换和类比思维 12:50 - 数学问题通常不止一个已知问题，需要积累和类比思维 16:05 - 学习数学的共通经验:认真听课，积累解题方法 五、好好学习，不要落下课程，跟上授课步伐，积累知识，避免心理落差和自信缺失。 16:20 - 上课要认真听，否则会浪费时间 17:50 - 不要被每次考试的差距所影响，要有信心 19:40 - 重要的是现在就开始学习，不要留下遗憾 --本内容由AI视频小助理生成，关注解锁AI助理，由@仙庭炼丹士 召唤发送

陶安荷博雅:
[可爱小黄豆_wink]应试数学 1学会直接模仿 2题干转换，将不会的问题转化为会的 [可爱小黄豆_哭了]比学霸学的差的原因 1上课没听懂，形成恶性连锁反应 2学霸比你早学会 3每次考试与别人的差距积累到最后造成的绝望感 [可爱小黄豆_委屈]谈谈我自己的经历 1小学初中排名高是因为自己都提前预习学会了 2高中成绩一落千丈，是因为连锁反应，彻底跟不上了 3但是请千万不要放弃[可爱小黄豆_wink]，我的这种绝望感一直持续到高三上学期，但是我死死咬住，坚持下来了，高三下学期二轮复习补上来了，最后100天提高了100分。 总结:谢谢up，这期真的点出了我很多年来遇到的问题

【回复】比学霸学得差的原因加一条 4.真学霸从来不应试学数学，拥有比应试学习更高的学习效率
白茶凉儿:
猫猫我有两个问题 1.数学该怎么记笔记呢？ 2.数学怎么记错题本呢？

【回复】错了就重来，直到对，过程中不怕翻笔记和看之前做过的类似题型，这是最牢靠的。赶时间就对答案，看自己漏了什么和记错了什么，除非是真基础运算错了，不然算错了也是技巧运用有问题导致的，至少找到一处定理，概念或技巧的错误才算完，错题本上只用记题和错了的定理概念技巧，千万别抄过程，就淹了重点了。下次做题前翻一遍错题本，专门就记错题本上的定理概念技巧就行。
【回复】个人愚见错题本没啥用，真会了基本就不会错，错了说明还是没完全会
【回复】笔记可以不在意格式、领域(数学分支)，笔记目的是防止忘记思考时得出的珍贵思维，或好的解法。 记下单道题的解法，可用自己的语言，省去非必要步骤，在令人意想不到的地方写下自己的感受
迷话木:
随后几句直接让我泪崩了，UP主作为一个学霸居然挺懂底层学生的心声，或许是将自己的感悟说了出来。但实际上，真心想学好的学渣，心理是无比难受的。 我以前学渣最后一年逆袭，现在学高数痛苦地看到这视频，没想到被拨动了那时留下的心弦。

【回复】我推荐去看euler的infinity analysis induction,你绝对会对他处理无穷运算的思路感到奇妙，这本书是两三百年的分析教科书，只不过因为内容过时，方法不够严谨被抛弃了，但我们任然能从里面得到关于,euler对于问题处理其他的思路，对于科学研究数学是有用的
学数学可太快乐了:
我一直很喜欢数学，初中时和同学给人出数学题玩，高中时焦虑的时候做数学来解压，很喜欢证明课后题里各种圆锥曲线结论。然而大学没能学自己喜欢的数学专业，不过能把好几门高数都考到接近满分，大数赛能搞到市一。虽能在应试中获得不错的成绩，但很多其实都是刷题刷出来的，让我最快乐的永远是自己探究出一个困难问题的时候，而不仅仅是考了多少分。可惜以后研究也只能搞经济了（悲），数学就当作一个爱好吧

【回复】当我还在苦恼的时候，兄弟你已经开始把它当成快乐了[笑哭]
魔法少女灬喵内:
那么好，如何在研究生阶段学好数学，做好研究，成为一个合格的数学研究工作者喵？ 研究生阶段有大量的书籍和论文但很少有考试。毕竟学的学历越高，面临的考试会越少，第一方面是，因为问题越来越困难以至于难以在两三个小时里给出答案，第二方面是每个人面临问题越来越具体和不同以至于用的方法大相径庭，单独学会一种方法并没有什么意义。 希望猫猫能顺利的过完研究生，成为一个可爱的数学研究者，喵内会一直陪着的喵！[tv_点赞][tv_点赞]

青山steep:
我觉得应试提升的话有一个方法叫尝试尽量的一题多解，这可以检验对知识的利用程度，然后没兴趣的话可以看点数学类闲书，说不定能激发你对数学和学习的一点兴趣，结城浩的《数学女孩》挺不错的，然后波利亚的《怎样解题也可以试着看看》[doge]

【回复】我去！《数学女孩》！碰到书友了！
【回复】多题一解也可以试试[doge]
【回复】《数学女孩》我也读过，不过当时初二，根本看不懂。
Tilal:
还得是从小有个水平比你高一截能看出你问题给你纠正的人，小学就不提了，纯算数的，到了中学学代数，函数就有一些人掉队了，仅仅因为一些观念上的小小的偏差，小朋友也不懂理解什么符号，定理公理什么的，对学习和认知过程也没啥经验，哪个地方没过去就卡在那了，然后就感觉反正也学不会，得过且过算了。

【回复】[妙啊]是的，小学初中有个高年级的哥哥跟我讨论，就是我提出奇思妙想他帮我想怎么实现到做题上，那时候我觉得数学很有意思。高中学积分我想到了抛物线从y轴积分，跑去找大学的他验证。[呆]不过他工作以后没时间管我了。
请管好我的小白羊:
原本我也以为自己有点理科，天赋，直到2022数学高考[呲牙]

竹林居士:
个人观点：往高等走。考试本质上是出题人和做题人的博弈，出题人就像下凡的仙人，被天道（考纲）限制了功力，但他们的眼界和经验却还保留着。凡人想和这样的仙人斗是很难的。但考纲对考生并不是铜墙铁壁，只是孙悟空给唐僧画的一个圈。走出这个圈才能真正弥补在博弈中的劣势，也才能更早认识体会数学的本质和数学的美。比如，高中学了导数后回头做初中二次函数的题目，你已经不再需要套公式，而只需要简单求个导就行了。当你了解的够多，你会明白，很多题目都只是高等领域里的简单定理简化到初等范畴而已。

【回复】回复 @夏炎Sunnier :小学奥数完全不是正常人的思路（
【回复】确实深有感触，我属于及其没天赋还从解题中感受不到乐趣那一挂，高中数学三模没及格，经常晚自习在数学老师办公室边哭边改错题，大学学了微积分，代数，离散，概率，分析，微分方程之后再回头看曾经把我按在地上摩擦的高中数学，感觉真的一览众山小【熬出头了
【回复】但老实说，现在让我回去写小学奥数题我还真不一定写得了。。。眼界高了，一些过去的小技巧自然会忘，就像方程解多了牛吃草问题可能都不能列算式求解。。。
Aistrate:
人类认知的局限是物理，而数学永远走在物理的前面，就如同工艺与生产的关系一般；而另一方面，数学作为高度自洽的学科，其本身并不存在被证伪的说法，这也让我更倾向于把它作为一个工具，而非科学体系中的一部分。锻造一柄精美的斧头需要纯熟的技艺，上好的材料与重复的冶炼，但却只用几下挥舞就能学会如何用斧头砍倒树木；相应的，大部分木材也都不需要如此锐利的斧刃才能劈开。所以如果对数学的锋刃感到畏惧，那么不妨戴上手套做那个砍树的人，正如我当初在两门引以为傲的学科里选择了物理一样，。

造化在手:
一语惊醒梦中人[脱单doge]，从今天开始我就是猫猫的死忠粉，大爱猫猫[脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge][脱单doge]

rua045rua:
你怎么知道我要开始学高代和数分了 讲得很不错，评论区发言也都好的 但愿我能学好数学捏[嘉然2.0_可是蒂娜我][嘉然2.0_嘉心糖] 学不明白的话@贝拉kira 能教教我不[贝拉个性装扮2.0_大聪明]