【全英讲数学】所有学生都应该知道的数学定理证明手段

大尾草履虫:
CS70好像也是这些证明方式. 还缺个举例证明法.

【回复】举个例快速证伪倒是挺实用的，写个作业什么的还行，但感觉需要我正经写证明的时候一般没什么用x
【回复】回复 @hum_hallelujah :也不是吧，一些几何的证明就是算一个特殊情况，然后证明其他情况都和特殊情况一样。例如双曲平面的测地线是半圆，由于我们知道双曲平面度量在分式线性变换群PSL_2（R）作用下不变，且分式线性变换把圆映射到圆，所以只需要证明虚轴是测地线即可。 或者更简单的算球面的测地线是大圆，也是只需要举z=0的大圆是测地线且球面度量在刚体变换下不变即可。 还有就是你在估计完一类函数或者集合的上界（就像sup_｛f\in \Omega，n<x｝ f（n）=O（g））的时候，你常常想举例f和n说明g不能被改进（当然不是任何时候都可以靠举例说明的，例如RH成立时，素数定理的余项不能被改进就需要构造函数来证，而且这个结果还能说明素数定理的余项的阶不超过x^｛1/2+ε｝和RH等价）
普通冲浪人罢了:
好喜欢这种英语听不懂，数学也听不懂，但不知道为什么还是听完了的感觉啊[微笑][微笑][微笑]

【回复】把眼睛蒙上还想听吗[doge]
【回复】回复 @想捏圆圆的你 :哦你在说我快睡着的六级听力是吗[doge]
【回复】回复 @想捏圆圆的你 :想，up声音好听
沐智禾:
数学与应用数学专业人来说 这就是我们高代的第一节课[跪了][跪了]

【回复】数分吧[笑哭]第一节课上来就是证明题[笑哭]
燃弦:
我看过这个练习题！ 假设神是万能的，那么他就能造出一块自己搬不起来的石头，可是他搬不起来这块石头，就说明他不是万能的！ （我才不会告诉你我是小时候看《装在口袋里的爸爸》时看到的[傲娇]）

【回复】有一点像罗素的理发悖论
【回复】我两脚互蹬直接上天！神挡杀神，佛挡杀佛！
丨冥丨风:
高端的助眠视频，往往使用很简单的方法[吃瓜][doge]

ChamaseLeonardo:
在遇见up主之前，我从未想过自己会点进这样简朴的视频。初次进入，应该是因为颜值。往后，便日渐沉迷于up主那种高冷又不失亲和幽默的气质，还有那种由知识和智慧带来的自信和淡定。虽然我是男生，但我总感觉自己在up主身上看到了自己想成为的模样。（不知为何，我从小就想要一个姐姐，从两三岁就开始了，可能榜样性是我理想中的她的特质之一。）可能我不会学数学（也大概率不会，我的数学不算好），但我想和up一样成为热爱知识和思考，认真做自己喜欢的事的人。最后，姐姐，新年快乐呀[2024]！请问能回复一下我吗？我今年要高考了，希望能得到姐姐的祝福！[给心心][给心心][给心心]

【回复】天哪，仿佛看见了几年前的我，我也是高考前几个月给大自己两三岁的女up主发了很长一段真诚的话[兔年]
【回复】高一的学妹祝学长取得好成绩！我们一起加油呀！[给心心]
zzyyd_xcyz:
想起来之前看过的一个非常有意思（难以察觉）的归纳伪证：证明所有的物体都是白色。1匹马的颜色是相同的（trivial）；如果k匹马颜色相同，那么对于k+1匹马，可以取出一匹马，剩下的k匹马颜色相同；把这匹马放回去，随便拿另一匹马出来，剩下的k匹马仍颜色相同，所以k+1匹马颜色相同（显然“颜色相同”是等价关系[doge]），归纳成立。再随便找一匹白马，说明所有马都是白色的。最后因为以上论证可以推广到任意物体，所以所有物体都是白色，证毕！

【回复】[吃瓜]在N等于2的时候，就不能保证颜色都是相同的。我记得是哪个国外高校公开课离散数学里讲的了
【回复】因为没有证明任意k个都是白色的[doge][doge][doge]所以不能选两次 换言之，如果要证明每匹马都是白色的，就需要证明每“1”匹马都是白色的[doge][doge]
锦雨Camellia:
尝试做课后作业，万能的定义是其自身完美，且能知晓并且掌控任何事物，包括思维或是物质甚至规则。 先证神自身是否完美，假设其是完美的，必然有一个不完美的事物作为参照才能有“完美”这个概念，那么既然有完美和不完美的概念了，必定有一个在其两者之上的更完美的概念来评判其是否完美的定义，以此往复没有尽头，故神本身不是完美的，也没有绝对完美的事物。 然后来证神是否全知全能，若神全知全能，那么神所统治的世界必然是自洽的，也就不需要“我”的思维这样一个不可控的因素，直接把所有东西当提线木偶在那里运行地好好的就好了嘛，要意识干什么。

【回复】y1s1 完美这个概念本来就是个人为的概念 怎么样才算完美？ 你这个逻辑有些漏洞 如果神已经是完美的 为什么还要往上叠加？ 完美本来就已经到达了一个顶 你首先就假设了神不是完美的 然后说肯定有比神更完美的事物 一层层往上加 因此神不是完美的[微笑]但是现实事实是神就是完美的 它本身就是决定一切的神 它本身就是在这个世界还没有的时候 它就已经是这一切的前提 你相信这个前提之后 每一天的这个让生活中在证明这一点 但是反过来 如果你想用这个东西去证明神不存在 那其实是很难去证明这个东西的。 全知全能这个概念并不等于要把所有人当成提线木偶 神本来也容许人有自我意志 实际上神是出于爱而创造人 因而人活着自然是要去爱造他的神和爱神造的人 但是神也不可能勉强人去爱 就跟人也不可能会去发明一部一天到晚只会说我爱你的机器人 因为这是设定好的程序；大部分父母也都会赋予自己孩子真正的自我意识和自由选择 让他们真实的表达爱与不爱也自由的选择顺服和违背 所以说为什么不是提线木偶你可以类比神是人的父母类似的
【回复】回复 @我就系清蒸鱼 :可怕的是，人类把握不到完满和完美的概念。现在的概念只是对不完美的否定而已
百草园族:
又开始在标签区发疯了哈哈哈哈哈[吃瓜]

冷竹C:
[星星眼]今年春天也在伯克利念数学，姐姐有做哪门课的助教吗

千泷明月丶:
所以回到最初而又永恒的经典问题，当我们在讨论数学时，我们究竟在讨论什么。事实上这就是哲学终极命题，我是谁(who)，从哪来(where)，到哪去(how)。而对于数学，就是数学是什么，数学衍变的根基/源头是什么，学数学是为了什么。 但是可惜目前国内老师讲数学，基本只有第三部分，而且是极其不完全的，大概就是只是讲数学公式/定理怎么使用，怎么往题目上套。 所以建立数学思维这个问题，真正要想解决应该先学逻辑学，尤其是数理逻辑，但是可惜目前即使到了大学开设数理逻辑这样课程的学校也是少之又少... 实际上直接证明大概就是数理逻辑的mp规则(p→q并且p，所以q)，反证法大概是，非p→q并且非p→非q，所以p，逆否命题大概是，p→q，所以非q→非p等等。事实上，up所举的🌰基本都可以用一阶逻辑语言直接转化出来，并且变成足够可靠的逻辑学证明过程。 所以如果真的有人想去培养数学思维，我建议先学逻辑学(事实上，北大之类的数计专业也要求学数理逻辑)，你得先学了逻辑才能知道哪些证明是行之有效的，哪些证明是不可靠的甚至是主观臆断的...因此才能去回答上面说到的终极问题，而不是仅仅只是学会一种机械性的，流水线式的做题。 但是话又说回来，国内应试教育导致emmm如果你只是想利用数学成绩作为敲门砖，其实学逻辑学反而会加重学业负担，不如直接机械化。

【回复】首先first order logic不是必要的知识，其次，简单的数理逻辑确实是必修课(美国来说)。而且要理解first order logic，反而需要一些简单的分析學和代数学基础更好理解……
【回复】我也没说一阶逻辑是必要知识啊，先不说一阶逻辑只是数理逻辑的一个小类，就只谈一阶逻辑，这个概念才被提出来多久，而数学又被提出来多久，本身一阶逻辑就是远在数学之后的产物。你是否混淆了充分性和必要性，数理逻辑有助于培养数学思维，这显然表明数理逻辑是数学的充分条件而不是必要条件
【回复】我一开始就说了这个问题，培养数学思维，first order logic的知识不是非常必要的。第二个问题(其实是个Aside Problem)是在讲如没有一点数学基础，也有点难理解他。 我现在再补充一下，培养所谓数学思维，最好就是从代数和分析学去学，按照传统学法就可以了。
kyurious:
xswl高中纠结过为什么有些数学式前面写的都是“显而易见”并因为不懂原理深感痛苦，好在大学不用学硬核数学所以活下来了，原来到了姐姐这样对学科有一定程度认知的阶段完全是相反的感受啊hhhhhhhhhh

---QWE---:
up主这短短的5分钟是我们老师讲了2节课的东西[笑哭]

【回复】因为对于大部分人而言，听懂这个视频的前提是本身知道这个知识点
今朝无酒明朝有:
尝试回答一下下，如果有说的不够完整的地方欢迎大家讨论[脱单doge]:万能的定义是能决定主观和客观存在的物质，神不是万能的，因为祂本身是客观唯心存在的，其定义是思维决定存在，而祂无法决定思维，故祂不是万能的。

【回复】所以如果我认为神不是万能的，那祂就不是万能的[妙啊]
【回复】你这个没有证明出来神为什么不能决定思维 首先神本来就是无所不能的 你首先就是以一个错误的假设去推 神不是万能的 但y1s1这种理论很有局限性的 因为我们人类的五感就很有局限性 证明不了认知以外的东西
depth_of_Maths:
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