2024实分析（实变函数论）第07讲2/2 勒贝格外测度的性质：闭区间的外测度；康托尔集的外测度；勒贝格外测度的平移不变性；尺度变换

laoluo1030:
关于【a,b】的外测度＝长度。1.证明：半环中集合的测度(此时是长度)=其外测度，所以(a,b]外测度=b-a;2.单点集外测度为0；3.次可加性得证【a,b】,(a,b),[a,b)外测度=b-a. 用了半环做测度扩张，可以抛开距离外测度概念直接得到“开集可测”。

【回复】回复 @南山算子 :设A∈半环，因为A⊂A⇨μ*(A)≤μ(A);另一方面,任取{Bn}∈C(A)(这是您课上定义的覆盖族),μ(A)=μ(A∩(∪Bn))≤∑μ(A∩Bn)≤∑μ(Bn)，其中第一个不等号利用半环测度的次可列可加性，第二个不等号是单调性。对不等式最右端取下确界得μ(A)≤μ*(A). 综上μ(A)=μ*(A). 勒贝格测度时半环上的μ是长度。
【回复】第一点似乎不是如此简单。
【回复】回复 @laoluo1030 : 本节视频中此处花了较多时间就是因为此前没有证明“半环上的长度是一个测度”。如果假设了这一点，确实相对较简单。这是抽象测度中的做法。参考视频 https://www.bilibili.com/video/BV1Gu4m1c7FY/?spm_id_from=333.788&vd_source=1d76fa02d94749d66b69a3a372d29daf 约第5分钟到第10分钟处。